-- GENERADO_POR: C:\Users\vedq\Desktop\desarrollo\SRC-VED\DEMUESTRA\vendor\PUBLICAR\PackPublica\formal_lean_backend.py -- FECHA_HORA_GENERACION: 2026-09-26T16:24:04+02:00 -- ARGUMENTO_GENERACION: C:\Users\vedq\Desktop\desarrollo\SRC-VED\DEMUESTRA\ES_46_RV6.md import Mathlib noncomputable section set_option maxHeartbeats 30000 namespace ES_46_RV6 structure FormalContext where Assertion_contempla_exhaustivamente_todos_los_cierres_finitos : ℕ × ℝ → Prop D : ℝ D_rho_R : ℝ DerivativeSubject_s : ℝ DerivativeSubject_t_prime : ℝ DerivativeSubject_v : ℝ Derivative_t : ℝ → ℝ DivergesToInfinity : ℝ → Prop E : ℝ F : ℝ F3 : ℝ G : ℝ G_fn_1 : ℕ → ℝ I : ℝ InfiniteSum_Nat_Complex : ℕ → (ℕ → ℂ) → ℂ InfiniteSum_Nat_Real : ℕ → (ℕ → ℝ) → ℝ L : ℝ L_fn_2 : ℕ → ℝ → ℝ Lap : ℝ Mc : ℝ P : ℝ P_F3 : ℝ P_VR : ℝ P_VR_fn_1 : ℝ → ℝ Phi : ℝ Phi_tilde_N : ℝ Phi_tilde_N_fn_1 : ℝ → ℝ Pow_Complex : ℂ → ℂ → ℂ Pow_Real : ℝ → ℝ → ℝ R_Sch : ℝ R_VED : ℝ R_VED_fn_2 : ℕ → ℝ → ℝ Rim : ℝ S : ℝ Sch : ℝ Stable : ℝ Stable_Rim : ℝ T : ℝ T_fn_2 : ℕ → ℝ → ℝ TendsTo : ℝ → ℝ → Prop U : ℝ U_Rim : Set (ℂ) U_Rim_rho : Set (ℂ) U_Sch : Set (ℝ) U_VED : Set (ℝ) U_VED_cerrado : Set (ℕ × ℕ) U_VED_rho : Set (ℝ) VED : ℝ VR : ℝ Z_Rim : ℝ Z_Rim_nt : Set (ℂ) Z_Rim_triv : Set (ℤ) Z_VED_to_Lap : Set (ℂ) a : ℝ b : ℝ bT : ℝ b_fn_2 : ℕ → ℝ → ℝ b_k : ℝ c : ℝ cerrado : ℝ dist : ℝ dist_fn_2 : ℕ → Set (ℕ) → ℝ ds : ℝ dt : ℝ dt_prime : ℝ e : ℝ f : ℝ f_fn_1 : ℝ → ℂ f_inv : ℝ f_inv_fn_1 : ℂ → ℝ h : ℝ hc : ℝ i : ℂ ib : ℝ ibT : ℝ k : ℕ lambda : ℝ ldots : ℝ longleftrightarrow : ℝ m : ℕ mathcal_E : ℝ mathcal_E_VED : Set (ℕ × ℕ) mathcal_I : ℝ mathcal_I_VED : Set (ℕ × ℕ) n : ℕ nt : ℝ onda : ℝ rho : ℝ rho_R : ℝ rho_R_fn_1 : ℂ → ℝ rho_VED : ℝ rho_VED_fn_1 : ℝ → ℝ s : ℂ s_PM : ℝ sqrt : ℝ → ℝ t : ℝ t_prime : ℝ tilde_N : ℝ triv : ℝ v : ℝ v_onda : ℝ varepsilon : ℝ x : ℝ z : ℂ z_varepsilon_PM : ℝ zeta : ℂ → ℂ def Derived_Text_clase_estable (ctx : FormalContext) : Prop := (ctx.rho = 0) def Derived_Text_clase_no_estable (ctx : FormalContext) : Prop := ((0 < 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(ctx.U = (((3 : ℝ) * ctx.S) + ctx.T)) def Node_D_U_source_declarations (ctx : FormalContext) : Prop := (Node_D_U_source_1 ctx) def Node_D_U (ctx : FormalContext) : Prop := (ctx.U = (((3 : ℝ) * ctx.S) + ctx.T)) -- DEMUESTRA_ASSERTION: D_U|COMPLETA|NO_APLICA -- FORMAL_NODE: D_t_prime -- SOURCE: ES_46_RV6.md:65 -- FORMULA: \frac{dt'}{dt}. -- FORMULA: t' -- FORMULA: t' -- FORMULA: dt' def Node_D_t_prime_source_1_raw : String := "\\frac{dt'}{dt}." -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "D_t_prime", "formula": 1, "location": "ES_46_RV6.md:65:D_t_prime:formula-1", "source": "\\frac{dt'}{dt}.", "status": "FORMALIZED_TERM", "type": "Real", "role": "STATEMENT"} def Node_D_t_prime_source_1_term (ctx : FormalContext) : ℝ := (ctx.Derivative_t (ctx.t_prime)) def Node_D_t_prime_source_2_raw : String := "t'" -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "D_t_prime", "formula": 2, "location": "ES_46_RV6.md:65:D_t_prime:formula-2", "source": "t'", "status": "FORMALIZED_TERM", "type": "Real", "role": 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c=1. -- FORMULA: dt'^2 = dt^2-ds^2, -- FORMULA: v def Node_A_L_source_1_raw : String := "dt' = dt \\sqrt{ 1-\\frac{v^2}{c^2} }." -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "A_L", "formula": 1, "location": "ES_46_RV6.md:77:A_L:formula-1", "source": "dt' = dt \\sqrt{ 1-\\frac{v^2}{c^2} }.", "status": "FORMALIZED_PROP", "type": "Prop", "role": "DECLARATION"} def Node_A_L_source_1 (ctx : FormalContext) : Prop := (ctx.dt_prime = (ctx.dt * (ctx.sqrt ((1 : ℝ) - (ctx.v ^ 2 / ctx.c ^ 2))))) def Node_A_L_source_2_raw : String := "\\boxed{ v=\\frac{ds}{dt}. }" -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "A_L", "formula": 2, "location": "ES_46_RV6.md:77:A_L:formula-2", "source": "\\boxed{ v=\\frac{ds}{dt}. }", "status": "FORMALIZED_PROP", "type": "Prop", "role": "DECLARATION"} def Node_A_L_source_2 (ctx : FormalContext) : Prop := (ctx.v = ctx.Derivative_t (ctx.DerivativeSubject_s)) def Node_A_L_source_3_raw : String := "c=1." -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "A_L", "formula": 3, "location": "ES_46_RV6.md:77:A_L:formula-3", "source": "c=1.", "status": "FORMALIZED_PROP", "type": "Prop", "role": "DECLARATION"} def Node_A_L_source_3 (ctx : FormalContext) : Prop := (ctx.c = 1) def Node_A_L_source_4_raw : String := "dt'^2 = dt^2-ds^2," -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "A_L", "formula": 4, "location": "ES_46_RV6.md:77:A_L:formula-4", "source": "dt'^2 = dt^2-ds^2,", "status": "FORMALIZED_PROP", "type": "Prop", "role": "DECLARATION"} def Node_A_L_source_4 (ctx : FormalContext) : Prop := (ctx.dt_prime ^ 2 = (ctx.dt ^ 2 - ctx.ds ^ 2)) def Node_A_L_source_5_raw : String := "v" -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "A_L", "formula": 5, "location": "ES_46_RV6.md:77:A_L:formula-5", "source": "v", "status": "FORMALIZED_TERM", "type": "Real", "role": "STATEMENT"} def Node_A_L_source_5_term (ctx : FormalContext) : ℝ := (ctx.v) def Node_A_L_source_declarations (ctx : FormalContext) : Prop := (Node_A_L_source_1 ctx) ∧ (Node_A_L_source_2 ctx) ∧ (Node_A_L_source_3 ctx) ∧ (Node_A_L_source_4 ctx) def Node_A_L_clause_1 (ctx : FormalContext) : Prop := (ctx.dt_prime = (ctx.dt * (ctx.sqrt ((1 : ℝ) - (ctx.v ^ 2 / ctx.c ^ 2))))) def Node_A_L_clause_2 (ctx : FormalContext) : Prop := (ctx.v = ctx.Derivative_t (ctx.DerivativeSubject_s)) def Node_A_L_clause_3 (ctx : FormalContext) : Prop := (ctx.c = 1) def Node_A_L_clause_4 (ctx : FormalContext) : Prop := (ctx.dt_prime ^ 2 = (ctx.dt ^ 2 - ctx.ds ^ 2)) def Node_A_L (ctx : FormalContext) : Prop := (ctx.dt_prime = (ctx.dt * (ctx.sqrt ((1 : ℝ) - (ctx.v ^ 2 / ctx.c ^ 2))))) ∧ (ctx.v = ctx.Derivative_t (ctx.DerivativeSubject_s)) ∧ (ctx.c = 1) ∧ (ctx.dt_prime ^ 2 = (ctx.dt ^ 2 - ctx.ds ^ 2)) -- DEMUESTRA_ASSERTION: A_L|COMPLETA|NO_APLICA -- FORMAL_NODE: D_lambda -- SOURCE: ES_46_RV6.md:174 -- FORMULA: E=\frac{hc}{\lambda}, -- FORMULA: E=Mc^2, -- FORMULA: Mc^2=\frac{hc}{\lambda}, -- FORMULA: \boxed{ \lambda=\frac{h}{Mc}. } -- FORMULA: \lambda def Node_D_lambda_source_1_raw : String := "E=\\frac{hc}{\\lambda}," -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "D_lambda", "formula": 1, "location": "ES_46_RV6.md:174:D_lambda:formula-1", "source": "E=\\frac{hc}{\\lambda},", "status": "FORMALIZED_PROP", "type": "Prop", "role": "DECLARATION"} def Node_D_lambda_source_1 (ctx : FormalContext) : Prop := (ctx.E = (ctx.hc / ctx.lambda)) def Node_D_lambda_source_2_raw : String := "E=Mc^2," -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "D_lambda", "formula": 2, "location": "ES_46_RV6.md:174:D_lambda:formula-2", "source": "E=Mc^2,", "status": "FORMALIZED_PROP", "type": "Prop", "role": "DECLARATION"} def Node_D_lambda_source_2 (ctx : FormalContext) : Prop := (ctx.E = ctx.Mc ^ 2) def Node_D_lambda_source_3_raw : String := "Mc^2=\\frac{hc}{\\lambda}," -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "D_lambda", "formula": 3, "location": "ES_46_RV6.md:174:D_lambda:formula-3", "source": "Mc^2=\\frac{hc}{\\lambda},", "status": "FORMALIZED_PROP", "type": "Prop", "role": "DECLARATION"} def Node_D_lambda_source_3 (ctx : FormalContext) : Prop := (ctx.Mc ^ 2 = (ctx.hc / ctx.lambda)) def Node_D_lambda_source_4_raw : String := "\\boxed{ \\lambda=\\frac{h}{Mc}. }" -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "D_lambda", "formula": 4, "location": "ES_46_RV6.md:174:D_lambda:formula-4", "source": "\\boxed{ \\lambda=\\frac{h}{Mc}. }", "status": "FORMALIZED_PROP", "type": "Prop", "role": "DECLARATION"} def Node_D_lambda_source_4 (ctx : FormalContext) : Prop := (ctx.lambda = (ctx.h / ctx.Mc)) def Node_D_lambda_source_5_raw : String := "\\lambda" -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "D_lambda", "formula": 5, "location": "ES_46_RV6.md:174:D_lambda:formula-5", "source": "\\lambda", "status": "FORMALIZED_TERM", "type": "Real", "role": "STATEMENT"} def Node_D_lambda_source_5_term (ctx : FormalContext) : ℝ := (ctx.lambda) def Node_D_lambda_source_declarations (ctx : FormalContext) : Prop := (Node_D_lambda_source_1 ctx) ∧ (Node_D_lambda_source_2 ctx) ∧ (Node_D_lambda_source_3 ctx) ∧ (Node_D_lambda_source_4 ctx) def Node_D_lambda_clause_1 (ctx : FormalContext) : Prop := (ctx.E = (ctx.hc / ctx.lambda)) def Node_D_lambda_clause_2 (ctx : FormalContext) : Prop := (ctx.E = ctx.Mc ^ 2) def Node_D_lambda_clause_3 (ctx : FormalContext) : Prop := (ctx.Mc ^ 2 = (ctx.hc / ctx.lambda)) def Node_D_lambda_clause_4 (ctx : FormalContext) : Prop := (ctx.lambda = (ctx.h / ctx.Mc)) def Node_D_lambda (ctx : FormalContext) : Prop := (ctx.E = (ctx.hc / ctx.lambda)) ∧ (ctx.E = ctx.Mc ^ 2) ∧ (ctx.Mc ^ 2 = (ctx.hc / ctx.lambda)) ∧ (ctx.lambda = (ctx.h / ctx.Mc)) -- DEMUESTRA_ASSERTION: D_lambda|COMPLETA|NO_APLICA -- FORMAL_NODE: D_L -- SOURCE: ES_46_RV6.md:202 -- FORMULA: \boxed{ L=n\lambda. } -- FORMULA: n\in\mathbb R^+. -- FORMULA: L def Node_D_L_source_1_raw : String := "\\boxed{ L=n\\lambda. }" -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "D_L", "formula": 1, "location": "ES_46_RV6.md:202:D_L:formula-1", "source": "\\boxed{ L=n\\lambda. }", "status": "FORMALIZED_PROP", "type": "Prop", "role": "DECLARATION"} def Node_D_L_source_1 (ctx : FormalContext) : Prop := (ctx.L = ((ctx.n : ℝ) * ctx.lambda)) def Node_D_L_source_2_raw : String := "n\\in\\mathbb R^+." -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "D_L", "formula": 2, "location": "ES_46_RV6.md:202:D_L:formula-2", "source": "n\\in\\mathbb R^+.", "status": "FORMALIZED_PROP", "type": "Prop", "role": "DECLARATION"} def Node_D_L_source_2 (ctx : FormalContext) : Prop := ((ctx.n : ℝ) ∈ {x : ℝ | 0 < x}) def Node_D_L_source_3_raw : String := "L" -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "D_L", "formula": 3, "location": "ES_46_RV6.md:202:D_L:formula-3", "source": "L", "status": "FORMALIZED_TERM", "type": "Real", "role": "STATEMENT"} def Node_D_L_source_3_term (ctx : FormalContext) : ℝ := (ctx.L) def Node_D_L_source_declarations (ctx : FormalContext) : Prop := (Node_D_L_source_1 ctx) ∧ (Node_D_L_source_2 ctx) def Node_D_L_clause_1 (ctx : FormalContext) : Prop := (ctx.L = ((ctx.n : ℝ) * ctx.lambda)) def Node_D_L_clause_2 (ctx : FormalContext) : Prop := ((ctx.n : ℝ) ∈ {x : ℝ | 0 < x}) def Node_D_L (ctx : 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0\le\rho\le\frac12. } -- FORMULA: \boxed{ L(k,\rho) = (k\pm\rho)\lambda, } -- FORMULA: \boxed{ R_{\rm VED}(k,\rho) = \frac{(k\pm\rho)\lambda}{2\pi}. } -- FORMULA: \rho=1/2 def Node_D_rho_source_1_raw : String := "\\boxed{ \\rho = \\operatorname{dist}(n,\\mathbb N^+). }" -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "D_rho", "formula": 1, "location": "ES_46_RV6.md:316:D_rho:formula-1", "source": "\\boxed{ \\rho = \\operatorname{dist}(n,\\mathbb N^+). }", "status": "FORMALIZED_PROP", "type": "Prop", "role": "DECLARATION"} def Node_D_rho_source_1 (ctx : FormalContext) : Prop := (ctx.rho = (ctx.dist_fn_2 ctx.n {x : ℕ | 0 < x})) def Node_D_rho_source_2_raw : String := "\\boxed{ 0\\le\\rho\\le\\frac12. }" -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "D_rho", "formula": 2, "location": "ES_46_RV6.md:316:D_rho:formula-2", "source": "\\boxed{ 0\\le\\rho\\le\\frac12. }", "status": "FORMALIZED_PROP", "type": "Prop", "role": "DECLARATION"} def Node_D_rho_source_2 (ctx : FormalContext) : Prop := ((0 ≤ ctx.rho) ∧ (ctx.rho ≤ ((1 : ℝ) / (2 : ℝ)))) def Node_D_rho_source_3_raw : String := "\\boxed{ n=k\\pm\\rho, \\qquad k\\in\\mathbb N^+, \\qquad 0\\le\\rho\\le\\frac12. }" -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "D_rho", "formula": 3, "location": "ES_46_RV6.md:316:D_rho:formula-3", "source": "\\boxed{ n=k\\pm\\rho, \\qquad k\\in\\mathbb N^+, \\qquad 0\\le\\rho\\le\\frac12. }", "status": "FORMALIZED_PROP", "type": "Prop", "role": "DECLARATION"} def Node_D_rho_source_3 (ctx : FormalContext) : Prop := ((((ctx.n) = (((ctx.k : ℝ) + ctx.rho)) ∨ (ctx.n) = (((ctx.k : ℝ) - ctx.rho)))) ∧ (ctx.k ∈ {x : ℕ | 0 < x}) ∧ ((0 ≤ ctx.rho) ∧ (ctx.rho ≤ ((1 : ℝ) / (2 : ℝ))))) def Node_D_rho_source_4_raw : String := "\\boxed{ L(k,\\rho) = (k\\pm\\rho)\\lambda, }" -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "D_rho", "formula": 4, "location": "ES_46_RV6.md:316:D_rho:formula-4", "source": "\\boxed{ L(k,\\rho) = (k\\pm\\rho)\\lambda, }", "status": "FORMALIZED_PROP", "type": "Prop", "role": "DECLARATION"} def Node_D_rho_source_4 (ctx : FormalContext) : Prop := (((ctx.L_fn_2 ctx.k ctx.rho) = ((((ctx.k : ℝ) + ctx.rho) * ctx.lambda)) ∨ (ctx.L_fn_2 ctx.k ctx.rho) = ((((ctx.k : ℝ) - ctx.rho) * ctx.lambda)))) def Node_D_rho_source_5_raw : String := "\\boxed{ R_{\\rm VED}(k,\\rho) = \\frac{(k\\pm\\rho)\\lambda}{2\\pi}. }" -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "D_rho", "formula": 5, "location": "ES_46_RV6.md:316:D_rho:formula-5", "source": "\\boxed{ R_{\\rm VED}(k,\\rho) = \\frac{(k\\pm\\rho)\\lambda}{2\\pi}. }", "status": "FORMALIZED_PROP", "type": "Prop", "role": "DECLARATION"} def Node_D_rho_source_5 (ctx : FormalContext) : Prop := (((ctx.R_VED_fn_2 ctx.k ctx.rho) = (((((ctx.k : ℝ) + ctx.rho) * ctx.lambda) / ((2 : ℝ) * Real.pi))) ∨ (ctx.R_VED_fn_2 ctx.k ctx.rho) = (((((ctx.k : ℝ) - ctx.rho) * ctx.lambda) / ((2 : ℝ) * Real.pi))))) def Node_D_rho_source_6_raw : String := "\\rho=1/2" -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "D_rho", "formula": 6, "location": "ES_46_RV6.md:316:D_rho:formula-6", "source": "\\rho=1/2", "status": "FORMALIZED_PROP", "type": "Prop", "role": "STATEMENT"} def Node_D_rho_source_6 (ctx : FormalContext) : Prop := (ctx.rho = ((1 : ℝ) / (2 : ℝ))) def Node_D_rho_source_declarations (ctx : FormalContext) : Prop := (Node_D_rho_source_1 ctx) ∧ (Node_D_rho_source_2 ctx) ∧ (Node_D_rho_source_3 ctx) ∧ (Node_D_rho_source_4 ctx) ∧ (Node_D_rho_source_5 ctx) def Node_D_rho_source_steps (ctx : FormalContext) : Prop := (Node_D_rho_source_6 ctx) def Node_D_rho_clause_1 (ctx : FormalContext) : Prop := (ctx.rho = (ctx.dist_fn_2 ctx.n {x : ℕ | 0 < x})) def Node_D_rho_clause_2 (ctx : FormalContext) : Prop := ((0 ≤ ctx.rho) ∧ (ctx.rho ≤ ((1 : ℝ) / (2 : ℝ)))) def Node_D_rho_clause_3 (ctx : FormalContext) : Prop := ((((ctx.n) = (((ctx.k : ℝ) + ctx.rho)) ∨ (ctx.n) = (((ctx.k : ℝ) - ctx.rho)))) ∧ (ctx.k ∈ {x : ℕ | 0 < x}) ∧ ((0 ≤ ctx.rho) ∧ (ctx.rho ≤ ((1 : ℝ) / (2 : ℝ))))) def Node_D_rho_clause_4 (ctx : FormalContext) : Prop := (((ctx.L_fn_2 ctx.k ctx.rho) = ((((ctx.k : ℝ) + ctx.rho) * ctx.lambda)) ∨ (ctx.L_fn_2 ctx.k ctx.rho) = ((((ctx.k : ℝ) - ctx.rho) * ctx.lambda)))) def Node_D_rho_clause_5 (ctx : FormalContext) : Prop := (((ctx.R_VED_fn_2 ctx.k ctx.rho) = (((((ctx.k : ℝ) + ctx.rho) * ctx.lambda) / ((2 : ℝ) * Real.pi))) ∨ (ctx.R_VED_fn_2 ctx.k ctx.rho) = (((((ctx.k : ℝ) - ctx.rho) * ctx.lambda) / ((2 : ℝ) * Real.pi))))) def Node_D_rho (ctx : FormalContext) : Prop := (ctx.rho = (ctx.dist_fn_2 ctx.n {x : ℕ | 0 < x})) ∧ ((0 ≤ ctx.rho) ∧ (ctx.rho ≤ ((1 : ℝ) / (2 : ℝ)))) ∧ ((((ctx.n) = (((ctx.k : ℝ) + ctx.rho)) ∨ (ctx.n) = (((ctx.k : ℝ) - ctx.rho)))) ∧ (ctx.k ∈ {x : ℕ | 0 < x}) ∧ ((0 ≤ ctx.rho) ∧ (ctx.rho ≤ ((1 : ℝ) / (2 : ℝ))))) ∧ (((ctx.L_fn_2 ctx.k ctx.rho) = ((((ctx.k : ℝ) + ctx.rho) * ctx.lambda)) ∨ (ctx.L_fn_2 ctx.k ctx.rho) = ((((ctx.k : ℝ) - ctx.rho) * ctx.lambda)))) ∧ (((ctx.R_VED_fn_2 ctx.k ctx.rho) = (((((ctx.k : ℝ) + ctx.rho) * ctx.lambda) / ((2 : ℝ) * Real.pi))) ∨ (ctx.R_VED_fn_2 ctx.k ctx.rho) = (((((ctx.k : ℝ) - ctx.rho) * ctx.lambda) / ((2 : ℝ) * Real.pi))))) -- DEMUESTRA_ASSERTION: D_rho|COMPLETA|NO_APLICA -- FORMAL_NODE: A_7 -- SOURCE: ES_46_RV6.md:514 -- FORMULA: \boxed{ \tilde N = R_{\rm VED}R_{\rm Sch}. } -- FORMULA: \boxed{ R_{\rm Sch} = \frac{\tilde N}{R_{\rm VED}}, } -- FORMULA: \boxed{ R_{\rm VED} = \frac{\tilde N}{R_{\rm Sch}}. } -- FORMULA: \Phi_{\tilde N}: R_{\rm VED} \mapsto \frac{\tilde N}{R_{\rm VED}} -- DEMUESTRA_PROSE_CONTRACT: {"node": "A_7", "source": "biyectiva, continua y con inversa", "status": "FORMALIZED_PROP"} def Node_A_7_source_1_raw : String := "\\boxed{ \\tilde N = R_{\\rm VED}R_{\\rm Sch}. }" -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "A_7", "formula": 1, "location": "ES_46_RV6.md:514:A_7:formula-1", "source": "\\boxed{ \\tilde N = R_{\\rm VED}R_{\\rm Sch}. }", "status": "FORMALIZED_PROP", "type": "Prop", "role": "DECLARATION"} def Node_A_7_source_1 (ctx : FormalContext) : Prop := (ctx.tilde_N = (ctx.R_VED * ctx.R_Sch)) def Node_A_7_source_2_raw : String := "\\boxed{ R_{\\rm Sch} = \\frac{\\tilde N}{R_{\\rm VED}}, }" -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "A_7", "formula": 2, "location": "ES_46_RV6.md:514:A_7:formula-2", "source": "\\boxed{ R_{\\rm Sch} = \\frac{\\tilde N}{R_{\\rm VED}}, }", "status": "FORMALIZED_PROP", "type": "Prop", "role": "DECLARATION"} def Node_A_7_source_2 (ctx : FormalContext) : Prop := (ctx.R_Sch = (ctx.tilde_N / ctx.R_VED)) def Node_A_7_source_3_raw : String := "\\boxed{ R_{\\rm VED} = \\frac{\\tilde N}{R_{\\rm Sch}}. }" -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "A_7", "formula": 3, "location": "ES_46_RV6.md:514:A_7:formula-3", "source": "\\boxed{ R_{\\rm VED} = \\frac{\\tilde N}{R_{\\rm Sch}}. }", "status": "FORMALIZED_PROP", "type": "Prop", "role": "DECLARATION"} def Node_A_7_source_3 (ctx : FormalContext) : Prop := (ctx.R_VED = (ctx.tilde_N / ctx.R_Sch)) def Node_A_7_source_4_raw : String := "\\Phi_{\\tilde N}: R_{\\rm VED} \\mapsto \\frac{\\tilde N}{R_{\\rm VED}}" -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "A_7", "formula": 4, "location": "ES_46_RV6.md:514:A_7:formula-4", "source": "\\Phi_{\\tilde N}: R_{\\rm VED} \\mapsto \\frac{\\tilde N}{R_{\\rm VED}}", "status": "FORMALIZED_PROP", "type": "Prop", "role": "DECLARATION"} def Node_A_7_source_4 (ctx : FormalContext) : Prop := ((ctx.Phi_tilde_N_fn_1 ctx.R_VED = ctx.tilde_N / ctx.R_VED)) def Node_A_7_source_declarations (ctx : FormalContext) : Prop := (Node_A_7_source_1 ctx) ∧ (Node_A_7_source_2 ctx) ∧ (Node_A_7_source_3 ctx) ∧ (Node_A_7_source_4 ctx) def Node_A_7_clause_1 (ctx : FormalContext) : Prop := (ctx.tilde_N = (ctx.R_VED * ctx.R_Sch)) def Node_A_7_clause_2 (ctx : FormalContext) : Prop := (ctx.R_Sch = (ctx.tilde_N / ctx.R_VED)) def Node_A_7_clause_3 (ctx : FormalContext) : Prop := (ctx.R_VED = (ctx.tilde_N / ctx.R_Sch)) def Node_A_7_clause_4 (ctx : FormalContext) : Prop := ((ctx.Phi_tilde_N_fn_1 ctx.R_VED = ctx.tilde_N / ctx.R_VED)) def Node_A_7_clause_5 (ctx : FormalContext) : Prop := (Nonempty (↥(ctx.U_VED) ≃ₜ ↥(ctx.U_Sch))) def Node_A_7 (ctx : FormalContext) : Prop := (ctx.tilde_N = (ctx.R_VED * ctx.R_Sch)) ∧ (ctx.R_Sch = (ctx.tilde_N / ctx.R_VED)) ∧ (ctx.R_VED = (ctx.tilde_N / ctx.R_Sch)) ∧ ((ctx.Phi_tilde_N_fn_1 ctx.R_VED = ctx.tilde_N / ctx.R_VED)) ∧ (Nonempty (↥(ctx.U_VED) ≃ₜ ↥(ctx.U_Sch))) -- DEMUESTRA_ASSERTION: A_7|COMPLETA|NO_APLICA -- FORMAL_NODE: D_Rim -- SOURCE: ES_46_RV6.md:912 -- FORMULA: z=a\pm ib -- FORMULA: \zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^s} -- FORMULA: \boxed{s=1.} -- FORMULA: \boxed{ Z_{\rm Rim}^{\rm triv} = \{-2,-4,-6,\ldots\} = \{-2m:m\in\mathbb N^+\}. } -- FORMULA: \boxed{ Z_{\rm Rim}^{\rm nt} = \{ z\in\mathbb C: \zeta(z)=0, \; 0<\Re(z)<1 \}. } -- FORMULA: \boxed{ z=a\pm ib, \qquad 01 def Node_D_Rim_source_1_raw : String := "z=a\\pm ib" -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "D_Rim", "formula": 1, "location": "ES_46_RV6.md:912:D_Rim:formula-1", "source": "z=a\\pm ib", "status": "FORMALIZED_PROP", "type": "Prop", "role": "DECLARATION"} def Node_D_Rim_source_1 (ctx : FormalContext) : Prop := (((ctx.z) = ((ctx.a + ctx.ib)) ∨ (ctx.z) = ((ctx.a - ctx.ib)))) def Node_D_Rim_source_2_raw : String := "\\zeta(s) = \\sum_{n=1}^{\\infty}\\frac1{n^s}" -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "D_Rim", "formula": 2, "location": "ES_46_RV6.md:912:D_Rim:formula-2", "source": "\\zeta(s) = \\sum_{n=1}^{\\infty}\\frac1{n^s}", "status": "FORMALIZED_PROP", "type": "Prop", "role": "DECLARATION"} def Node_D_Rim_source_2 (ctx : FormalContext) : Prop := ((ctx.zeta ctx.s) = ctx.InfiniteSum_Nat_Complex (1) (fun n : ℕ => ((1 : ℂ) / ctx.Pow_Complex ((n : ℂ)) (ctx.s) : ℂ))) def Node_D_Rim_source_3_raw : String := "\\boxed{s=1.}" -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "D_Rim", "formula": 3, "location": "ES_46_RV6.md:912:D_Rim:formula-3", "source": "\\boxed{s=1.}", "status": "FORMALIZED_PROP", "type": "Prop", "role": "DECLARATION"} def Node_D_Rim_source_3 (ctx : FormalContext) : Prop := (ctx.s = 1) def Node_D_Rim_source_4_raw : String := "\\boxed{ Z_{\\rm Rim}^{\\rm triv} = \\{-2,-4,-6,\\ldots\\} = \\{-2m:m\\in\\mathbb N^+\\}. }" -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "D_Rim", "formula": 4, "location": "ES_46_RV6.md:912:D_Rim:formula-4", "source": "\\boxed{ Z_{\\rm Rim}^{\\rm triv} = \\{-2,-4,-6,\\ldots\\} = \\{-2m:m\\in\\mathbb N^+\\}. }", "status": "FORMALIZED_PROP", "type": "Prop", "role": "DECLARATION"} def Node_D_Rim_source_4 (ctx : FormalContext) : Prop := (ctx.Z_Rim_triv = ({x | ∃ m : ℕ, (m ∈ {x : ℕ | 0 < x}) ∧ (x = ((-2 * (m : ℤ))))})) def Node_D_Rim_source_5_raw : String := "\\boxed{ Z_{\\rm Rim}^{\\rm nt} = \\{ z\\in\\mathbb C: \\zeta(z)=0, \\; 0<\\Re(z)<1 \\}. }" -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "D_Rim", "formula": 5, "location": "ES_46_RV6.md:912:D_Rim:formula-5", "source": "\\boxed{ Z_{\\rm Rim}^{\\rm nt} = \\{ z\\in\\mathbb C: \\zeta(z)=0, \\; 0<\\Re(z)<1 \\}. }", "status": "FORMALIZED_PROP", "type": "Prop", "role": "DECLARATION"} def Node_D_Rim_source_5 (ctx : FormalContext) : Prop := (ctx.Z_Rim_nt = ({z | ((z ∈ (Set.univ : Set ℂ)) ∧ ((ctx.zeta z) = 0)) ∧ ((0 < (Complex.re z)) ∧ ((Complex.re z) < 1))})) def Node_D_Rim_source_6_raw : String := "\\boxed{ z=a\\pm ib, \\qquad 01", "status": "FORMALIZED_PROP", "type": "Prop", "role": "STATEMENT"} def Node_D_Rim_source_9 (ctx : FormalContext) : Prop := ((Complex.re ctx.s) > 1) def Node_D_Rim_source_declarations (ctx : FormalContext) : Prop := (Node_D_Rim_source_1 ctx) ∧ (Node_D_Rim_source_2 ctx) ∧ (Node_D_Rim_source_3 ctx) ∧ (Node_D_Rim_source_4 ctx) ∧ (Node_D_Rim_source_5 ctx) ∧ (Node_D_Rim_source_6 ctx) ∧ (Node_D_Rim_source_8 ctx) def Node_D_Rim_source_steps (ctx : FormalContext) : Prop := (Node_D_Rim_source_9 ctx) def Node_D_Rim_clause_1 (ctx : FormalContext) : Prop := (((ctx.z) = ((ctx.a + ctx.ib)) ∨ (ctx.z) = ((ctx.a - ctx.ib)))) def Node_D_Rim_clause_2 (ctx : FormalContext) : Prop := ((ctx.zeta ctx.s) = ctx.InfiniteSum_Nat_Complex (1) (fun n : ℕ => ((1 : ℂ) / ctx.Pow_Complex ((n : ℂ)) (ctx.s) : ℂ))) def Node_D_Rim_clause_3 (ctx : FormalContext) : Prop := (ctx.s = 1) def Node_D_Rim_clause_4 (ctx : FormalContext) : Prop := (ctx.Z_Rim_triv = ({x | ∃ m : ℕ, (m ∈ {x : ℕ | 0 < x}) ∧ (x = ((-2 * (m : ℤ))))})) def Node_D_Rim_clause_5 (ctx : FormalContext) : Prop := (ctx.Z_Rim_nt = ({z | ((z ∈ (Set.univ : Set ℂ)) ∧ ((ctx.zeta z) = 0)) ∧ ((0 < (Complex.re z)) ∧ ((Complex.re z) < 1))})) def Node_D_Rim_clause_6 (ctx : FormalContext) : Prop := ((((ctx.z) = ((ctx.a + ctx.ib)) ∨ (ctx.z) = ((ctx.a - ctx.ib)))) ∧ ((0 < ctx.a) ∧ (ctx.a < 1))) def Node_D_Rim_clause_7 (ctx : FormalContext) : Prop := (ctx.a = ((1 : ℝ) / (2 : ℝ))) def Node_D_Rim (ctx : FormalContext) : Prop := (((ctx.z) = ((ctx.a + ctx.ib)) ∨ (ctx.z) = ((ctx.a - ctx.ib)))) ∧ ((ctx.zeta ctx.s) = ctx.InfiniteSum_Nat_Complex (1) (fun n : ℕ => ((1 : ℂ) / ctx.Pow_Complex ((n : ℂ)) (ctx.s) : ℂ))) ∧ (ctx.s = 1) ∧ (ctx.Z_Rim_triv = ({x | ∃ m : ℕ, (m ∈ {x : ℕ | 0 < x}) ∧ (x = ((-2 * (m : ℤ))))})) ∧ (ctx.Z_Rim_nt = ({z | ((z ∈ (Set.univ : Set ℂ)) ∧ ((ctx.zeta z) = 0)) ∧ ((0 < (Complex.re z)) ∧ ((Complex.re z) < 1))})) ∧ ((((ctx.z) = ((ctx.a + ctx.ib)) ∨ (ctx.z) = ((ctx.a - ctx.ib)))) ∧ ((0 < ctx.a) ∧ (ctx.a < 1))) ∧ (ctx.a = ((1 : ℝ) / (2 : ℝ))) -- DEMUESTRA_ASSERTION: D_Rim|COMPLETA|NO_APLICA -- FORMAL_NODE: D_rho_R -- SOURCE: ES_46_RV6.md:1003 -- FORMULA: \qquad \rho_R = \left| a-\frac12 \right|. } -- FORMULA: 0 ⟨ctx.f_fn_1 x.val, h_forward_maps x.val x.property⟩ invFun := fun z => ⟨ctx.f_inv_fn_1 z.val, h_D_fInv_1 z.val z.property⟩ left_inv := by intro x apply Subtype.ext exact h_left x.val x.property right_inv := by intro z apply Subtype.ext exact h_right z.val z.property } refine ⟨equivalence, ?_, ?_, h_forward_coordinate, ?_⟩ · intro x rfl · intro z rfl · intro z hz have h := h_forward_coordinate (ctx.f_inv_fn_1 z) (h_D_fInv_1 z hz) rw [h_right z hz] at h exact h.symm -- DEMUESTRA_ASSERTION: T_ISO|COMPLETA|TEOREMA_EMITIDO -- FORMAL_NODE: P_ST -- SOURCE: ES_46_RV6.md:114 -- FORMULA: \qquad ds^2=dt^2-dt'^2. } -- FORMULA: \boxed{ ds^2=(dt-dt')(dt+dt'). } def Node_P_ST_source_1_raw : String := "\\qquad ds^2=dt^2-dt'^2. }" -- DEMUESTRA_SOURCE_CLAIM: {"node": "P_ST", "formula": 1, "location": "ES_46_RV6.md:114:P_ST:formula-1", "source": "\\qquad ds^2=dt^2-dt'^2. }", "status": "FORMALIZED_UNPROVEN", "type": "Prop", "role": "CLAIM"} def Node_P_ST_source_1 (ctx : FormalContext) : Prop := (ctx.ds ^ 2 = (ctx.dt ^ 2 - ctx.dt_prime ^ 2)) def Node_P_ST_source_2_raw : String := "\\boxed{ ds^2=(dt-dt')(dt+dt'). }" -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "P_ST", "formula": 2, "location": "ES_46_RV6.md:114:P_ST:formula-2", "source": "\\boxed{ ds^2=(dt-dt')(dt+dt'). }", "status": "FORMALIZED_PROP", "type": "Prop", "role": "PROOF_STEP"} def Node_P_ST_source_2 (ctx : FormalContext) : Prop := (ctx.ds ^ 2 = ((ctx.dt - ctx.dt_prime) * (ctx.dt + ctx.dt_prime))) def Node_P_ST_source_steps (ctx : FormalContext) : Prop := (Node_P_ST_source_2 ctx) -- DEMUESTRA_DEDUCTIVE_LINK: P_ST|2|PROOF_STEP|-|P_COORD,D_t_prime,A_L|NO_CERTIFICADO theorem derive_P_ST (ctx : FormalContext) (h_D_t_prime : (True)) (h_A_L : ((ctx.dt_prime = (ctx.dt * (ctx.sqrt ((1 : ℝ) - (ctx.v ^ 2 / ctx.c ^ 2))))) ∧ (ctx.v = ctx.Derivative_t (ctx.DerivativeSubject_s)) ∧ (ctx.c = 1) ∧ (ctx.dt_prime ^ 2 = (ctx.dt ^ 2 - ctx.ds ^ 2)))) : ((ctx.ds ^ 2 = (ctx.dt ^ 2 - ctx.dt_prime ^ 2))) := by rcases h_A_L with ⟨h_A_L_1, h_A_L_2, h_A_L_3, h_A_L_4⟩ first | assumption | (symm; assumption) | linarith | ring | aesop -- DEMUESTRA_ASSERTION: P_ST|COMPLETA|TEOREMA_EMITIDO -- FORMAL_NODE: P_RHO_ISO -- SOURCE: ES_46_RV6.md:1133 -- FORMULA: \boxed{ \rho_R(f(x))=\rho_{\rm VED}(x), \qquad \rho_{\rm VED}(f^{-1}(z))=\rho_R(z). } -- FORMULA: \rho=0 \iff \text{clase estable}, -- FORMULA: 0<\rho\le\frac12 \iff \text{clase no estable} -- FORMULA: \rho -- FORMULA: f -- FORMULA: f^{-1} def Node_P_RHO_ISO_source_1_raw : String := "\\boxed{ \\rho_R(f(x))=\\rho_{\\rm VED}(x), \\qquad \\rho_{\\rm VED}(f^{-1}(z))=\\rho_R(z). }" -- DEMUESTRA_SOURCE_CLAIM: {"node": "P_RHO_ISO", "formula": 1, "location": "ES_46_RV6.md:1133:P_RHO_ISO:formula-1", "source": "\\boxed{ \\rho_R(f(x))=\\rho_{\\rm VED}(x), \\qquad \\rho_{\\rm VED}(f^{-1}(z))=\\rho_R(z). }", "status": "FORMALIZED_UNPROVEN", "type": "Prop", "role": "CLAIM"} def Node_P_RHO_ISO_source_1 (ctx : FormalContext) : Prop := ((∀ x_all : ℝ, x_all ∈ ctx.U_VED_rho → ((ctx.rho_R_fn_1 (ctx.f_fn_1 x_all)) = (ctx.rho_VED_fn_1 x_all))) ∧ (∀ z_all : ℂ, z_all ∈ ctx.U_Rim_rho → ((ctx.rho_VED_fn_1 (ctx.f_inv_fn_1 z_all)) = (ctx.rho_R_fn_1 z_all)))) def Node_P_RHO_ISO_source_2_raw : String := "\\rho=0 \\iff \\text{clase estable}," -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "P_RHO_ISO", "formula": 2, "location": "ES_46_RV6.md:1133:P_RHO_ISO:formula-2", "source": "\\rho=0 \\iff \\text{clase estable},", "status": "FORMALIZED_PROP", "type": "Prop", "role": "PROOF_STEP"} def Node_P_RHO_ISO_source_2 (ctx : FormalContext) : Prop := ((ctx.rho = 0) ↔ Derived_Text_clase_estable ctx) def Node_P_RHO_ISO_source_3_raw : String := "0<\\rho\\le\\frac12 \\iff \\text{clase no estable}" -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "P_RHO_ISO", "formula": 3, "location": "ES_46_RV6.md:1133:P_RHO_ISO:formula-3", "source": "0<\\rho\\le\\frac12 \\iff \\text{clase no estable}", "status": "FORMALIZED_PROP", "type": "Prop", "role": "PROOF_STEP"} def Node_P_RHO_ISO_source_3 (ctx : FormalContext) : Prop := (((0 < ctx.rho) ∧ (ctx.rho ≤ ((1 : ℝ) / (2 : ℝ)))) ↔ Derived_Text_clase_no_estable ctx) def Node_P_RHO_ISO_source_4_raw : String := "\\rho" -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "P_RHO_ISO", "formula": 4, "location": "ES_46_RV6.md:1133:P_RHO_ISO:formula-4", "source": "\\rho", "status": "FORMALIZED_TERM", "type": "Real", "role": "PROOF_STEP"} def Node_P_RHO_ISO_source_4_term (ctx : FormalContext) : ℝ := (ctx.rho) def Node_P_RHO_ISO_source_5_raw : String := "f" -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "P_RHO_ISO", "formula": 5, "location": "ES_46_RV6.md:1133:P_RHO_ISO:formula-5", "source": "f", "status": "FORMALIZED_TERM", "type": "Real", "role": "PROOF_STEP"} def Node_P_RHO_ISO_source_5_term (ctx : FormalContext) : ℝ := (ctx.f) def Node_P_RHO_ISO_source_6_raw : String := "f^{-1}" -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "P_RHO_ISO", "formula": 6, "location": "ES_46_RV6.md:1133:P_RHO_ISO:formula-6", "source": "f^{-1}", "status": "FORMALIZED_TERM", "type": "Real", "role": "PROOF_STEP"} def Node_P_RHO_ISO_source_6_term (ctx : FormalContext) : ℝ := (ctx.f_inv) def Node_P_RHO_ISO_source_steps (ctx : FormalContext) : Prop := (Node_P_RHO_ISO_source_2 ctx) ∧ (Node_P_RHO_ISO_source_3 ctx) -- DEMUESTRA_DEDUCTIVE_LINK: P_RHO_ISO|1|CLAIM|-|T_ISO|NO_CERTIFICADO -- DEMUESTRA_DEDUCTIVE_LINK: P_RHO_ISO|2|PROOF_STEP|1|T_ISO|NO_CERTIFICADO -- DEMUESTRA_DEDUCTIVE_LINK: P_RHO_ISO|3|PROOF_STEP|2|T_ISO|NO_CERTIFICADO theorem derive_P_RHO_ISO (ctx : FormalContext) (h_T_ISO : (((∃ h : ↥(ctx.U_VED_rho) ≃ ↥(ctx.U_Rim_rho), (∀ x_iso : ↥(ctx.U_VED_rho), (h x_iso).val = ctx.f_fn_1 x_iso.val) ∧ (∀ z_iso : ↥(ctx.U_Rim_rho), (h.symm z_iso).val = ctx.f_inv_fn_1 z_iso.val) ∧ (∀ x_all : ℝ, x_all ∈ ctx.U_VED_rho → ((ctx.rho_R_fn_1 (ctx.f_fn_1 x_all)) = (ctx.rho_VED_fn_1 x_all))) ∧ (∀ z_all : ℂ, z_all ∈ ctx.U_Rim_rho → ((ctx.rho_VED_fn_1 (ctx.f_inv_fn_1 z_all)) = (ctx.rho_R_fn_1 z_all))))))) (h_D_f : ((ctx.U_VED_rho = ({x | ctx.rho_VED_fn_1 x ∈ Set.Icc 0 ((1 : ℝ) / (2 : ℝ))})) ∧ (ctx.U_Rim_rho = ({z | ctx.rho_R_fn_1 z ∈ Set.Icc 0 ((1 : ℝ) / (2 : ℝ))})) ∧ (((∀ x_map : ℝ, x_map ∈ ctx.U_VED_rho → (ctx.f_fn_1 x_map) ∈ ctx.U_Rim_rho)) ∧ (∀ x_all : ℝ, x_all ∈ ctx.U_VED_rho → ((ctx.rho_R_fn_1 (ctx.f_fn_1 x_all)) = (ctx.rho_VED_fn_1 x_all)))))) : (((∀ x_all : ℝ, x_all ∈ ctx.U_VED_rho → ((ctx.rho_R_fn_1 (ctx.f_fn_1 x_all)) = (ctx.rho_VED_fn_1 x_all))) ∧ (∀ z_all : ℂ, z_all ∈ ctx.U_Rim_rho → ((ctx.rho_VED_fn_1 (ctx.f_inv_fn_1 z_all)) = (ctx.rho_R_fn_1 z_all))))) := by rcases h_D_f with ⟨h_D_f_1, h_D_f_2, h_D_f_3⟩ first | assumption | (symm; assumption) | linarith | ring | aesop -- DEMUESTRA_ASSERTION: P_RHO_ISO|COMPLETA|TEOREMA_EMITIDO -- FORMAL_NODE: P_v -- SOURCE: ES_46_RV6.md:138 -- FORMULA: \qquad \frac{ds}{dt}=v. } -- FORMULA: \frac{d^2s}{dt^2}=0. -- FORMULA: v def Node_P_v_source_1_raw : String := "\\qquad \\frac{ds}{dt}=v. }" -- DEMUESTRA_SOURCE_CLAIM: {"node": "P_v", "formula": 1, "location": "ES_46_RV6.md:138:P_v:formula-1", "source": "\\qquad \\frac{ds}{dt}=v. }", "status": "FORMALIZED_UNPROVEN", "type": "Prop", "role": "CLAIM"} def Node_P_v_source_1 (ctx : FormalContext) : Prop := (ctx.Derivative_t (ctx.DerivativeSubject_s) = ctx.v) def Node_P_v_source_2_raw : String := "\\frac{d^2s}{dt^2}=0." -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "P_v", "formula": 2, "location": "ES_46_RV6.md:138:P_v:formula-2", "source": "\\frac{d^2s}{dt^2}=0.", "status": "FORMALIZED_PROP", "type": "Prop", "role": "PROOF_STEP"} def Node_P_v_source_2 (ctx : FormalContext) : Prop := (ctx.Derivative_t (ctx.Derivative_t (ctx.DerivativeSubject_s)) = 0) def Node_P_v_source_3_raw : String := "v" -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "P_v", "formula": 3, "location": "ES_46_RV6.md:138:P_v:formula-3", "source": "v", "status": "FORMALIZED_TERM", "type": "Real", "role": "PROOF_STEP"} def Node_P_v_source_3_term (ctx : FormalContext) : ℝ := (ctx.v) def Node_P_v_source_steps (ctx : FormalContext) : Prop := (Node_P_v_source_2 ctx) -- DEMUESTRA_DEDUCTIVE_LINK: P_v|2|PROOF_STEP|-|D_t_prime,A_L,P_ST|NO_CERTIFICADO theorem derive_P_v (ctx : FormalContext) (h_D_t_prime : (True)) (h_A_L : ((ctx.dt_prime = (ctx.dt * (ctx.sqrt ((1 : ℝ) - (ctx.v ^ 2 / ctx.c ^ 2))))) ∧ (ctx.v = ctx.Derivative_t (ctx.DerivativeSubject_s)) ∧ (ctx.c = 1) ∧ (ctx.dt_prime ^ 2 = (ctx.dt ^ 2 - ctx.ds ^ 2)))) (h_P_ST : ((ctx.ds ^ 2 = (ctx.dt ^ 2 - ctx.dt_prime ^ 2)))) : ((ctx.Derivative_t (ctx.DerivativeSubject_s) = ctx.v)) := by rcases h_A_L with ⟨h_A_L_1, h_A_L_2, h_A_L_3, h_A_L_4⟩ first | assumption | (symm; assumption) | linarith | ring | aesop -- DEMUESTRA_ASSERTION: P_v|COMPLETA|TEOREMA_EMITIDO -- FORMAL_NODE: P_ST_2 -- SOURCE: ES_46_RV6.md:592 -- FORMULA: \qquad ds^2=dt^2-dt'^2. -- FORMULA: t def Node_P_ST_2_source_1_raw : String := "\\qquad ds^2=dt^2-dt'^2." -- DEMUESTRA_SOURCE_CLAIM: {"node": "P_ST_2", "formula": 1, "location": "ES_46_RV6.md:592:P_ST_2:formula-1", "source": "\\qquad ds^2=dt^2-dt'^2.", "status": "FORMALIZED_UNPROVEN", "type": "Prop", "role": "CLAIM"} def Node_P_ST_2_source_1 (ctx : FormalContext) : Prop := (ctx.ds ^ 2 = (ctx.dt ^ 2 - ctx.dt_prime ^ 2)) def Node_P_ST_2_source_2_raw : String := "t" -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "P_ST_2", "formula": 2, "location": "ES_46_RV6.md:592:P_ST_2:formula-2", "source": "t", "status": "FORMALIZED_TERM", "type": "Real", "role": "PROOF_STEP"} def Node_P_ST_2_source_2_term (ctx : FormalContext) : ℝ := (ctx.t) theorem derive_P_ST_2 (ctx : FormalContext) (h_P_ST : ((ctx.ds ^ 2 = (ctx.dt ^ 2 - ctx.dt_prime ^ 2)))) (h_A_L : ((ctx.dt_prime = (ctx.dt * (ctx.sqrt ((1 : ℝ) - (ctx.v ^ 2 / ctx.c ^ 2))))) ∧ (ctx.v = ctx.Derivative_t (ctx.DerivativeSubject_s)) ∧ (ctx.c = 1) ∧ (ctx.dt_prime ^ 2 = (ctx.dt ^ 2 - ctx.ds ^ 2)))) : ((ctx.ds ^ 2 = (ctx.dt ^ 2 - ctx.dt_prime ^ 2))) := by exact h_P_ST -- DEMUESTRA_ASSERTION: P_ST_2|COMPLETA|VERIFICADA_ESTRUCTURAL -- FORMAL_NODE: P_RIM_S -- SOURCE: ES_46_RV6.md:1169 -- FORMULA: \boxed{ \forall z\in U_{\rm Rim}, \qquad \operatorname{Stable}_{\rm Rim}(z) \iff \rho_R(z)=0. } -- FORMULA: \boxed{ z\in Z_{\rm Rim}^{\rm nt} \Longrightarrow \operatorname{Stable}_{\rm Rim}(z) \Longrightarrow \rho_R(z)=0. } -- FORMULA: \rho -- FORMULA: f -- FORMULA: f^{-1} -- FORMULA: U_{\rm Rim} -- FORMULA: \rho_R(z)\neq0 -- FORMULA: Z_{\rm Rim}^{\rm nt} def Node_P_RIM_S_source_1_raw : String := "\\boxed{ \\forall z\\in U_{\\rm Rim}, \\qquad \\operatorname{Stable}_{\\rm Rim}(z) \\iff \\rho_R(z)=0. }" -- DEMUESTRA_SOURCE_CLAIM: {"node": "P_RIM_S", "formula": 1, "location": "ES_46_RV6.md:1169:P_RIM_S:formula-1", "source": "\\boxed{ \\forall z\\in U_{\\rm Rim}, \\qquad \\operatorname{Stable}_{\\rm Rim}(z) \\iff \\rho_R(z)=0. }", "status": "FORMALIZED_UNPROVEN", "type": "Prop", "role": "CLAIM"} def Node_P_RIM_S_source_1 (ctx : FormalContext) : Prop := (∀ z : ℂ, (z ∈ ctx.U_Rim) → ((Derived_Stable_Rim ctx z) ↔ ((ctx.rho_R_fn_1 z) = 0))) def Node_P_RIM_S_source_2_raw : String := "\\boxed{ z\\in Z_{\\rm Rim}^{\\rm nt} \\Longrightarrow \\operatorname{Stable}_{\\rm Rim}(z) \\Longrightarrow \\rho_R(z)=0. }" -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "P_RIM_S", "formula": 2, "location": "ES_46_RV6.md:1169:P_RIM_S:formula-2", "source": "\\boxed{ z\\in Z_{\\rm Rim}^{\\rm nt} \\Longrightarrow \\operatorname{Stable}_{\\rm Rim}(z) \\Longrightarrow \\rho_R(z)=0. }", "status": "FORMALIZED_PROP", "type": "Prop", "role": "PROOF_STEP"} def Node_P_RIM_S_source_2 (ctx : FormalContext) : Prop := (∀ z : ℂ, (z ∈ ctx.Z_Rim_nt) → ((Derived_Stable_Rim ctx z) → ((ctx.rho_R_fn_1 z) = 0))) def Node_P_RIM_S_source_3_raw : String := "\\rho" -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "P_RIM_S", "formula": 3, "location": "ES_46_RV6.md:1169:P_RIM_S:formula-3", "source": "\\rho", "status": "FORMALIZED_TERM", "type": "Real", "role": "PROOF_STEP"} def Node_P_RIM_S_source_3_term (ctx : FormalContext) : ℝ := (ctx.rho) def Node_P_RIM_S_source_4_raw : String := "f" -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "P_RIM_S", "formula": 4, "location": "ES_46_RV6.md:1169:P_RIM_S:formula-4", "source": "f", "status": "FORMALIZED_TERM", "type": "Real", "role": "PROOF_STEP"} def Node_P_RIM_S_source_4_term (ctx : FormalContext) : ℝ := (ctx.f) def Node_P_RIM_S_source_5_raw : String := "f^{-1}" -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "P_RIM_S", "formula": 5, "location": "ES_46_RV6.md:1169:P_RIM_S:formula-5", "source": "f^{-1}", "status": "FORMALIZED_TERM", "type": "Real", "role": "PROOF_STEP"} def Node_P_RIM_S_source_5_term (ctx : FormalContext) : ℝ := (ctx.f_inv) def Node_P_RIM_S_source_6_raw : String := "U_{\\rm Rim}" -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "P_RIM_S", "formula": 6, "location": "ES_46_RV6.md:1169:P_RIM_S:formula-6", "source": "U_{\\rm Rim}", "status": "FORMALIZED_TERM", "type": "Set[Complex]", "role": "PROOF_STEP"} def Node_P_RIM_S_source_6_term (ctx : FormalContext) : Set (ℂ) := (ctx.U_Rim) def Node_P_RIM_S_source_7_raw : String := "\\rho_R(z)\\neq0" -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "P_RIM_S", "formula": 7, "location": "ES_46_RV6.md:1169:P_RIM_S:formula-7", "source": "\\rho_R(z)\\neq0", "status": "FORMALIZED_PROP", "type": "Prop", "role": "PROOF_STEP"} def Node_P_RIM_S_source_7 (ctx : FormalContext) : Prop := ((ctx.rho_R_fn_1 ctx.z) ≠ 0) def Node_P_RIM_S_source_8_raw : String := "Z_{\\rm Rim}^{\\rm nt}" -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "P_RIM_S", "formula": 8, "location": "ES_46_RV6.md:1169:P_RIM_S:formula-8", "source": "Z_{\\rm Rim}^{\\rm nt}", "status": "FORMALIZED_TERM", "type": "Set[Complex]", "role": "PROOF_STEP"} def Node_P_RIM_S_source_8_term (ctx : FormalContext) : Set (ℂ) := (ctx.Z_Rim_nt) def Node_P_RIM_S_source_steps (ctx : FormalContext) : Prop := (Node_P_RIM_S_source_2 ctx) ∧ (Node_P_RIM_S_source_7 ctx) -- DEMUESTRA_DEDUCTIVE_LINK: P_RIM_S|1|CLAIM|-|T_ISO,P_RHO_ISO|NO_CERTIFICADO -- DEMUESTRA_DEDUCTIVE_LINK: P_RIM_S|2|PROOF_STEP|1|T_ISO,P_RHO_ISO|NO_CERTIFICADO theorem derive_P_RIM_S (ctx : FormalContext) (h_T_ISO : (((∃ h : ↥(ctx.U_VED_rho) ≃ ↥(ctx.U_Rim_rho), (∀ x_iso : ↥(ctx.U_VED_rho), (h x_iso).val = ctx.f_fn_1 x_iso.val) ∧ (∀ z_iso : ↥(ctx.U_Rim_rho), (h.symm z_iso).val = ctx.f_inv_fn_1 z_iso.val) ∧ (∀ x_all : ℝ, x_all ∈ ctx.U_VED_rho → ((ctx.rho_R_fn_1 (ctx.f_fn_1 x_all)) = (ctx.rho_VED_fn_1 x_all))) ∧ (∀ z_all : ℂ, z_all ∈ ctx.U_Rim_rho → ((ctx.rho_VED_fn_1 (ctx.f_inv_fn_1 z_all)) = (ctx.rho_R_fn_1 z_all))))))) (h_P_RHO_ISO : (((∀ x_all : ℝ, x_all ∈ ctx.U_VED_rho → ((ctx.rho_R_fn_1 (ctx.f_fn_1 x_all)) = (ctx.rho_VED_fn_1 x_all))) ∧ (∀ z_all : ℂ, z_all ∈ ctx.U_Rim_rho → ((ctx.rho_VED_fn_1 (ctx.f_inv_fn_1 z_all)) = (ctx.rho_R_fn_1 z_all)))))) : ((∀ z : ℂ, (z ∈ ctx.U_Rim) → ((Derived_Stable_Rim ctx z) ↔ ((ctx.rho_R_fn_1 z) = 0)))) := by first | assumption | (symm; assumption) | linarith | ring | aesop -- DEMUESTRA_ASSERTION: P_RIM_S|COMPLETA|TEOREMA_EMITIDO -- FORMAL_NODE: P_a -- SOURCE: ES_46_RV6.md:154 -- FORMULA: \qquad \frac{d^2s}{dt^2} = \frac{dv}{dt} = a. } -- FORMULA: t -- FORMULA: t' def Node_P_a_source_1_raw : String := "\\qquad \\frac{d^2s}{dt^2} = \\frac{dv}{dt} = a. }" -- DEMUESTRA_SOURCE_CLAIM: {"node": "P_a", "formula": 1, "location": "ES_46_RV6.md:154:P_a:formula-1", "source": "\\qquad \\frac{d^2s}{dt^2} = \\frac{dv}{dt} = a. }", "status": "FORMALIZED_UNPROVEN", "type": "Prop", "role": "CLAIM"} def Node_P_a_source_1 (ctx : FormalContext) : Prop := ((ctx.Derivative_t (ctx.Derivative_t (ctx.DerivativeSubject_s)) = ctx.Derivative_t (ctx.v)) ∧ (ctx.Derivative_t (ctx.v) = ctx.a)) def Node_P_a_source_2_raw : String := "t" -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "P_a", "formula": 2, "location": "ES_46_RV6.md:154:P_a:formula-2", "source": "t", "status": "FORMALIZED_TERM", "type": "Real", "role": "PROOF_STEP"} def Node_P_a_source_2_term (ctx : FormalContext) : ℝ := (ctx.t) def Node_P_a_source_3_raw : String := "t'" -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "P_a", "formula": 3, "location": "ES_46_RV6.md:154:P_a:formula-3", "source": "t'", "status": "FORMALIZED_TERM", "type": "Real", "role": "PROOF_STEP"} def Node_P_a_source_3_term (ctx : FormalContext) : ℝ := (ctx.t_prime) theorem derive_P_a (ctx : FormalContext) (h_A_L : ((ctx.dt_prime = (ctx.dt * (ctx.sqrt ((1 : ℝ) - (ctx.v ^ 2 / ctx.c ^ 2))))) ∧ (ctx.v = ctx.Derivative_t (ctx.DerivativeSubject_s)) ∧ (ctx.c = 1) ∧ (ctx.dt_prime ^ 2 = (ctx.dt ^ 2 - ctx.ds ^ 2)))) (h_P_ST : ((ctx.ds ^ 2 = (ctx.dt ^ 2 - ctx.dt_prime ^ 2)))) (h_P_v : ((ctx.Derivative_t (ctx.DerivativeSubject_s) = ctx.v))) (h_D_Rim : ((((ctx.z) = ((ctx.a + ctx.ib)) ∨ (ctx.z) = ((ctx.a - ctx.ib)))) ∧ ((ctx.zeta ctx.s) = ctx.InfiniteSum_Nat_Complex (1) (fun n : ℕ => ((1 : ℂ) / ctx.Pow_Complex ((n : ℂ)) (ctx.s) : ℂ))) ∧ (ctx.s = 1) ∧ (ctx.Z_Rim_triv = ({x | ∃ m : ℕ, (m ∈ {x : ℕ | 0 < x}) ∧ (x = ((-2 * (m : ℤ))))})) ∧ (ctx.Z_Rim_nt = ({z | ((z ∈ (Set.univ : Set ℂ)) ∧ ((ctx.zeta z) = 0)) ∧ ((0 < (Complex.re z)) ∧ ((Complex.re z) < 1))})) ∧ ((((ctx.z) = ((ctx.a + ctx.ib)) ∨ (ctx.z) = ((ctx.a - ctx.ib)))) ∧ ((0 < ctx.a) ∧ (ctx.a < 1))) ∧ (ctx.a = ((1 : ℝ) / (2 : ℝ))))) (h_D_rho_R : (((0 < ctx.a) ∧ (ctx.a < 1)) ∧ ((0 ≤ ctx.rho_R) ∧ (ctx.rho_R < ((1 : ℝ) / (2 : ℝ)))) ∧ (ctx.a = (((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) + (ctx.varepsilon * ctx.rho_R))) ∧ (((ctx.z_varepsilon_PM) = (((((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) + (ctx.varepsilon * ctx.rho_R)) + ctx.ib)) ∨ (ctx.z_varepsilon_PM) = (((((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) + (ctx.varepsilon * ctx.rho_R)) - ctx.ib)))) ∧ (ctx.rho_R = (abs ((Complex.re ctx.z) - ((1 : ℝ) / (2 : ℝ))))))) : (((ctx.Derivative_t (ctx.Derivative_t (ctx.DerivativeSubject_s)) = ctx.Derivative_t (ctx.v)) ∧ (ctx.Derivative_t (ctx.v) = ctx.a))) := by rcases h_A_L with ⟨h_A_L_1, h_A_L_2, h_A_L_3, h_A_L_4⟩ rcases h_D_Rim with ⟨h_D_Rim_1, h_D_Rim_2, h_D_Rim_3, h_D_Rim_4, h_D_Rim_5, h_D_Rim_6, h_D_Rim_7⟩ rcases h_D_rho_R with ⟨h_D_rho_R_1, h_D_rho_R_2, h_D_rho_R_3, h_D_rho_R_4, h_D_rho_R_5⟩ first | assumption | (symm; assumption) | linarith | ring | aesop -- DEMUESTRA_ASSERTION: P_a|COMPLETA|TEOREMA_EMITIDO -- FORMAL_NODE: P_VED_Inv -- SOURCE: ES_46_RV6.md:254 -- FORMULA: L -- FORMULA: \lambda -- FORMULA: n -- FORMULA: \rho def Node_P_VED_Inv_source_1_raw : String := "L" -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "P_VED_Inv", "formula": 1, "location": "ES_46_RV6.md:254:P_VED_Inv:formula-1", "source": "L", "status": "FORMALIZED_TERM", "type": "Real", "role": "PROOF_STEP"} def Node_P_VED_Inv_source_1_term (ctx : FormalContext) : ℝ := (ctx.L) def Node_P_VED_Inv_source_2_raw : String := "\\lambda" -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "P_VED_Inv", "formula": 2, "location": "ES_46_RV6.md:254:P_VED_Inv:formula-2", "source": "\\lambda", "status": "FORMALIZED_TERM", "type": "Real", "role": "PROOF_STEP"} def Node_P_VED_Inv_source_2_term (ctx : FormalContext) : ℝ := (ctx.lambda) def Node_P_VED_Inv_source_3_raw : String := "n" -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "P_VED_Inv", "formula": 3, "location": "ES_46_RV6.md:254:P_VED_Inv:formula-3", "source": "n", "status": "FORMALIZED_TERM", "type": "Nat", "role": "PROOF_STEP"} def Node_P_VED_Inv_source_3_term (ctx : FormalContext) : ℕ := (ctx.n) def Node_P_VED_Inv_source_4_raw : String := "\\rho" -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "P_VED_Inv", "formula": 4, "location": "ES_46_RV6.md:254:P_VED_Inv:formula-4", "source": "\\rho", "status": "FORMALIZED_TERM", "type": "Real", "role": "PROOF_STEP"} def Node_P_VED_Inv_source_4_term (ctx : FormalContext) : ℝ := (ctx.rho) def Node_P_VED_Inv_unformalized_source : String := "La representación circular conserva $L$, $\\lambda$, $n$ y, como se definirá enseguida, $\\rho$. Por ello no crea la estabilidad: la hace visible. ---" -- DEMUESTRA_UNDECIDABLE_NODE: P_VED_Inv|PROSE_WITHOUT_FORMULA -- DEMUESTRA_ASSERTION: P_VED_Inv|DOCUMENTAL|NO_APLICA -- FORMAL_NODE: P_VED_E -- SOURCE: ES_46_RV6.md:394 -- FORMULA: \qquad \rho=0 \iff n=k\in\mathbb N^+ \iff L=k\lambda \iff \text{cierre exacto en fase} \iff \text{estado estable}. } -- FORMULA: 0<\rho\le\frac12, def Node_P_VED_E_source_1_raw : String := "\\qquad \\rho=0 \\iff n=k\\in\\mathbb N^+ \\iff L=k\\lambda \\iff \\text{cierre exacto en fase} \\iff \\text{estado estable}. }" -- DEMUESTRA_SOURCE_CLAIM: {"node": "P_VED_E", "formula": 1, "location": "ES_46_RV6.md:394:P_VED_E:formula-1", "source": "\\qquad \\rho=0 \\iff n=k\\in\\mathbb N^+ \\iff L=k\\lambda \\iff \\text{cierre exacto en fase} \\iff \\text{estado estable}. }", "status": "FORMALIZED_UNPROVEN", "type": "Prop", "role": "CLAIM"} def Node_P_VED_E_source_1 (ctx : FormalContext) : Prop := (((((ctx.rho = 0) ↔ ((ctx.n = ctx.k) ∧ (ctx.k ∈ {x : ℕ | 0 < x}))) ∧ (((ctx.n = ctx.k) ∧ (ctx.k ∈ {x : ℕ | 0 < x})) ↔ (ctx.L = ((ctx.k : ℝ) * ctx.lambda)))) ∧ ((ctx.L = ((ctx.k : ℝ) * ctx.lambda)) ↔ Derived_Text_cierre_exacto_en_fase ctx)) ∧ (Derived_Text_cierre_exacto_en_fase ctx ↔ Derived_Text_estado_estable ctx)) def Node_P_VED_E_source_2_raw : String := "0<\\rho\\le\\frac12," -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "P_VED_E", "formula": 2, "location": "ES_46_RV6.md:394:P_VED_E:formula-2", "source": "0<\\rho\\le\\frac12,", "status": "FORMALIZED_PROP", "type": "Prop", "role": "PROOF_STEP"} def Node_P_VED_E_source_2 (ctx : FormalContext) : Prop := ((0 < ctx.rho) ∧ (ctx.rho ≤ ((1 : ℝ) / (2 : ℝ)))) def Node_P_VED_E_source_steps (ctx : FormalContext) : Prop := (Node_P_VED_E_source_2 ctx) -- DEMUESTRA_DEDUCTIVE_LINK: P_VED_E|2|PROOF_STEP|-|P_VED_Inv,D_k,D_rho|NO_CERTIFICADO theorem derive_P_VED_E (ctx : FormalContext) (h_D_k : ((ctx.k ∈ {x : ℕ | 0 < x}))) (h_D_rho : ((ctx.rho = (ctx.dist_fn_2 ctx.n {x : ℕ | 0 < x})) ∧ ((0 ≤ ctx.rho) ∧ (ctx.rho ≤ ((1 : ℝ) / (2 : ℝ)))) ∧ ((((ctx.n) = (((ctx.k : ℝ) + ctx.rho)) ∨ (ctx.n) = (((ctx.k : ℝ) - ctx.rho)))) ∧ (ctx.k ∈ {x : ℕ | 0 < x}) ∧ ((0 ≤ ctx.rho) ∧ (ctx.rho ≤ ((1 : ℝ) / (2 : ℝ))))) ∧ (((ctx.L_fn_2 ctx.k ctx.rho) = ((((ctx.k : ℝ) + ctx.rho) * ctx.lambda)) ∨ (ctx.L_fn_2 ctx.k ctx.rho) = ((((ctx.k : ℝ) - ctx.rho) * ctx.lambda)))) ∧ (((ctx.R_VED_fn_2 ctx.k ctx.rho) = (((((ctx.k : ℝ) + ctx.rho) * ctx.lambda) / ((2 : ℝ) * Real.pi))) ∨ (ctx.R_VED_fn_2 ctx.k ctx.rho) = (((((ctx.k : ℝ) - ctx.rho) * ctx.lambda) / ((2 : ℝ) * Real.pi))))))) (h_D_lambda : ((ctx.E = (ctx.hc / ctx.lambda)) ∧ (ctx.E = ctx.Mc ^ 2) ∧ (ctx.Mc ^ 2 = (ctx.hc / ctx.lambda)) ∧ (ctx.lambda = (ctx.h / ctx.Mc)))) (h_D_L : ((ctx.L = ((ctx.n : ℝ) * ctx.lambda)) ∧ ((ctx.n : ℝ) ∈ {x : ℝ | 0 < x}))) : ((((((ctx.rho = 0) ↔ ((ctx.n = ctx.k) ∧ (ctx.k ∈ {x : ℕ | 0 < x}))) ∧ (((ctx.n = ctx.k) ∧ (ctx.k ∈ {x : ℕ | 0 < x})) ↔ (ctx.L = ((ctx.k : ℝ) * ctx.lambda)))) ∧ ((ctx.L = ((ctx.k : ℝ) * ctx.lambda)) ↔ Derived_Text_cierre_exacto_en_fase ctx)) ∧ (Derived_Text_cierre_exacto_en_fase ctx ↔ Derived_Text_estado_estable ctx))) := by rcases h_D_rho with ⟨h_D_rho_1, h_D_rho_2, h_D_rho_3, h_D_rho_4, h_D_rho_5⟩ rcases h_D_lambda with ⟨h_D_lambda_1, h_D_lambda_2, h_D_lambda_3, h_D_lambda_4⟩ rcases h_D_L with ⟨h_D_L_1, h_D_L_2⟩ first | assumption | (symm; assumption) | linarith | ring | aesop -- DEMUESTRA_ASSERTION: P_VED_E|COMPLETA|TEOREMA_EMITIDO -- FORMAL_NODE: P_VED_I -- SOURCE: ES_46_RV6.md:418 -- FORMULA: \qquad 0<\rho\le\frac12 \iff \text{cierre no estable}. } -- FORMULA: \boxed{ \rho=\frac12 } def Node_P_VED_I_source_1_raw : String := "\\qquad 0<\\rho\\le\\frac12 \\iff \\text{cierre no estable}. }" -- DEMUESTRA_SOURCE_CLAIM: {"node": "P_VED_I", "formula": 1, "location": "ES_46_RV6.md:418:P_VED_I:formula-1", "source": "\\qquad 0<\\rho\\le\\frac12 \\iff \\text{cierre no estable}. }", "status": "FORMALIZED_UNPROVEN", "type": "Prop", "role": "CLAIM"} def Node_P_VED_I_source_1 (ctx : FormalContext) : Prop := (((0 < ctx.rho) ∧ (ctx.rho ≤ ((1 : ℝ) / (2 : ℝ)))) ↔ Derived_Text_cierre_no_estable ctx) def Node_P_VED_I_source_2_raw : String := "\\boxed{ \\rho=\\frac12 }" -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "P_VED_I", "formula": 2, "location": "ES_46_RV6.md:418:P_VED_I:formula-2", "source": "\\boxed{ \\rho=\\frac12 }", "status": "FORMALIZED_PROP", "type": "Prop", "role": "PROOF_STEP"} def Node_P_VED_I_source_2 (ctx : FormalContext) : Prop := (ctx.rho = ((1 : ℝ) / (2 : ℝ))) def Node_P_VED_I_source_steps (ctx : FormalContext) : Prop := (Node_P_VED_I_source_2 ctx) -- DEMUESTRA_DEDUCTIVE_LINK: P_VED_I|2|PROOF_STEP|-|D_k,D_rho,P_VED_E|NO_CERTIFICADO theorem derive_P_VED_I (ctx : FormalContext) (h_D_k : ((ctx.k ∈ {x : ℕ | 0 < x}))) (h_D_rho : ((ctx.rho = (ctx.dist_fn_2 ctx.n {x : ℕ | 0 < x})) ∧ ((0 ≤ ctx.rho) ∧ (ctx.rho ≤ ((1 : ℝ) / (2 : ℝ)))) ∧ ((((ctx.n) = (((ctx.k : ℝ) + ctx.rho)) ∨ (ctx.n) = (((ctx.k : ℝ) - ctx.rho)))) ∧ (ctx.k ∈ {x : ℕ | 0 < x}) ∧ ((0 ≤ ctx.rho) ∧ (ctx.rho ≤ ((1 : ℝ) / (2 : ℝ))))) ∧ (((ctx.L_fn_2 ctx.k ctx.rho) = ((((ctx.k : ℝ) + ctx.rho) * ctx.lambda)) ∨ (ctx.L_fn_2 ctx.k ctx.rho) = ((((ctx.k : ℝ) - ctx.rho) * ctx.lambda)))) ∧ (((ctx.R_VED_fn_2 ctx.k ctx.rho) = (((((ctx.k : ℝ) + ctx.rho) * ctx.lambda) / ((2 : ℝ) * Real.pi))) ∨ (ctx.R_VED_fn_2 ctx.k ctx.rho) = (((((ctx.k : ℝ) - ctx.rho) * ctx.lambda) / ((2 : ℝ) * Real.pi))))))) (h_P_VED_E : ((((((ctx.rho = 0) ↔ ((ctx.n = ctx.k) ∧ (ctx.k ∈ {x : ℕ | 0 < x}))) ∧ (((ctx.n = ctx.k) ∧ (ctx.k ∈ {x : ℕ | 0 < x})) ↔ (ctx.L = ((ctx.k : ℝ) * ctx.lambda)))) ∧ ((ctx.L = ((ctx.k : ℝ) * ctx.lambda)) ↔ Derived_Text_cierre_exacto_en_fase ctx)) ∧ (Derived_Text_cierre_exacto_en_fase ctx ↔ Derived_Text_estado_estable ctx)))) : ((((0 < ctx.rho) ∧ (ctx.rho ≤ ((1 : ℝ) / (2 : ℝ)))) ↔ Derived_Text_cierre_no_estable ctx)) := by rcases h_D_rho with ⟨h_D_rho_1, h_D_rho_2, h_D_rho_3, h_D_rho_4, h_D_rho_5⟩ first | assumption | (symm; assumption) | linarith | ring | aesop -- DEMUESTRA_ASSERTION: P_VED_I|COMPLETA|TEOREMA_EMITIDO -- FORMAL_NODE: P_VED_E_2 -- SOURCE: ES_46_RV6.md:866 -- FORMULA: \quad \rho=0 \iff \text{estado estable}. def Node_P_VED_E_2_source_1_raw : String := "\\quad \\rho=0 \\iff \\text{estado estable}." -- DEMUESTRA_SOURCE_CLAIM: {"node": "P_VED_E_2", "formula": 1, "location": "ES_46_RV6.md:866:P_VED_E_2:formula-1", "source": "\\quad \\rho=0 \\iff \\text{estado estable}.", "status": "FORMALIZED_UNPROVEN", "type": "Prop", "role": "CLAIM"} def Node_P_VED_E_2_source_1 (ctx : FormalContext) : Prop := ((ctx.rho = 0) ↔ Derived_Text_estado_estable ctx) theorem derive_P_VED_E_2 (ctx : FormalContext) (h_P_VED_E : ((((((ctx.rho = 0) ↔ ((ctx.n = ctx.k) ∧ (ctx.k ∈ {x : ℕ | 0 < x}))) ∧ (((ctx.n = ctx.k) ∧ (ctx.k ∈ {x : ℕ | 0 < x})) ↔ (ctx.L = ((ctx.k : ℝ) * ctx.lambda)))) ∧ ((ctx.L = ((ctx.k : ℝ) * ctx.lambda)) ↔ Derived_Text_cierre_exacto_en_fase ctx)) ∧ (Derived_Text_cierre_exacto_en_fase ctx ↔ Derived_Text_estado_estable ctx)))) (h_D_rho : ((ctx.rho = (ctx.dist_fn_2 ctx.n {x : ℕ | 0 < x})) ∧ ((0 ≤ ctx.rho) ∧ (ctx.rho ≤ ((1 : ℝ) / (2 : ℝ)))) ∧ ((((ctx.n) = (((ctx.k : ℝ) + ctx.rho)) ∨ (ctx.n) = (((ctx.k : ℝ) - ctx.rho)))) ∧ (ctx.k ∈ {x : ℕ | 0 < x}) ∧ ((0 ≤ ctx.rho) ∧ (ctx.rho ≤ ((1 : ℝ) / (2 : ℝ))))) ∧ (((ctx.L_fn_2 ctx.k ctx.rho) = ((((ctx.k : ℝ) + ctx.rho) * ctx.lambda)) ∨ (ctx.L_fn_2 ctx.k ctx.rho) = ((((ctx.k : ℝ) - ctx.rho) * ctx.lambda)))) ∧ (((ctx.R_VED_fn_2 ctx.k ctx.rho) = (((((ctx.k : ℝ) + ctx.rho) * ctx.lambda) / ((2 : ℝ) * Real.pi))) ∨ (ctx.R_VED_fn_2 ctx.k ctx.rho) = (((((ctx.k : ℝ) - ctx.rho) * ctx.lambda) / ((2 : ℝ) * Real.pi))))))) : (((ctx.rho = 0) ↔ Derived_Text_estado_estable ctx)) := by rcases h_D_rho with ⟨h_D_rho_1, h_D_rho_2, h_D_rho_3, h_D_rho_4, h_D_rho_5⟩ first | assumption | (symm; assumption) | linarith | ring | aesop -- DEMUESTRA_ASSERTION: P_VED_E_2|COMPLETA|TEOREMA_EMITIDO -- FORMAL_NODE: P_VR_rho -- SOURCE: ES_46_RV6.md:1272 -- FORMULA: \qquad \rho_{\rm VED} = \rho_R = \left| a-\frac12 \right|. } -- FORMULA: U_{\rm VED} def Node_P_VR_rho_source_1_raw : String := "\\qquad \\rho_{\\rm VED} = \\rho_R = \\left| a-\\frac12 \\right|. }" -- DEMUESTRA_SOURCE_CLAIM: {"node": "P_VR_rho", "formula": 1, "location": "ES_46_RV6.md:1272:P_VR_rho:formula-1", "source": "\\qquad \\rho_{\\rm VED} = \\rho_R = \\left| a-\\frac12 \\right|. }", "status": "FORMALIZED_UNPROVEN", "type": "Prop", "role": "CLAIM"} def Node_P_VR_rho_source_1 (ctx : FormalContext) : Prop := ((ctx.rho_VED = ctx.rho_R) ∧ (ctx.rho_R = (abs (ctx.a - ((1 : ℝ) / (2 : ℝ)))))) def Node_P_VR_rho_source_2_raw : String := "U_{\\rm VED}" -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "P_VR_rho", "formula": 2, "location": "ES_46_RV6.md:1272:P_VR_rho:formula-2", "source": "U_{\\rm VED}", "status": "FORMALIZED_TERM", "type": "Set[Real]", "role": "PROOF_STEP"} def Node_P_VR_rho_source_2_term (ctx : FormalContext) : Set (ℝ) := (ctx.U_VED) theorem derive_P_VR_rho (ctx : FormalContext) (h_P_VED_E : ((((((ctx.rho = 0) ↔ ((ctx.n = ctx.k) ∧ (ctx.k ∈ {x : ℕ | 0 < x}))) ∧ (((ctx.n = ctx.k) ∧ (ctx.k ∈ {x : ℕ | 0 < x})) ↔ (ctx.L = ((ctx.k : ℝ) * ctx.lambda)))) ∧ ((ctx.L = ((ctx.k : ℝ) * ctx.lambda)) ↔ Derived_Text_cierre_exacto_en_fase ctx)) ∧ (Derived_Text_cierre_exacto_en_fase ctx ↔ Derived_Text_estado_estable ctx)))) (h_D_Rim : ((((ctx.z) = ((ctx.a + ctx.ib)) ∨ (ctx.z) = ((ctx.a - ctx.ib)))) ∧ ((ctx.zeta ctx.s) = ctx.InfiniteSum_Nat_Complex (1) (fun n : ℕ => ((1 : ℂ) / ctx.Pow_Complex ((n : ℂ)) (ctx.s) : ℂ))) ∧ (ctx.s = 1) ∧ (ctx.Z_Rim_triv = ({x | ∃ m : ℕ, (m ∈ {x : ℕ | 0 < x}) ∧ (x = ((-2 * (m : ℤ))))})) ∧ (ctx.Z_Rim_nt = ({z | ((z ∈ (Set.univ : Set ℂ)) ∧ ((ctx.zeta z) = 0)) ∧ ((0 < (Complex.re z)) ∧ ((Complex.re z) < 1))})) ∧ ((((ctx.z) = ((ctx.a + ctx.ib)) ∨ (ctx.z) = ((ctx.a - ctx.ib)))) ∧ ((0 < ctx.a) ∧ (ctx.a < 1))) ∧ (ctx.a = ((1 : ℝ) / (2 : ℝ))))) (h_D_rho_R : (((0 < ctx.a) ∧ (ctx.a < 1)) ∧ ((0 ≤ ctx.rho_R) ∧ (ctx.rho_R < ((1 : ℝ) / (2 : ℝ)))) ∧ (ctx.a = (((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) + (ctx.varepsilon * ctx.rho_R))) ∧ (((ctx.z_varepsilon_PM) = (((((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) + (ctx.varepsilon * ctx.rho_R)) + ctx.ib)) ∨ (ctx.z_varepsilon_PM) = (((((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) + (ctx.varepsilon * ctx.rho_R)) - ctx.ib)))) ∧ (ctx.rho_R = (abs ((Complex.re ctx.z) - ((1 : ℝ) / (2 : ℝ))))))) : (((ctx.rho_VED = ctx.rho_R) ∧ (ctx.rho_R = (abs (ctx.a - ((1 : ℝ) / (2 : ℝ))))))) := by rcases h_D_Rim with ⟨h_D_Rim_1, h_D_Rim_2, h_D_Rim_3, h_D_Rim_4, h_D_Rim_5, h_D_Rim_6, h_D_Rim_7⟩ rcases h_D_rho_R with ⟨h_D_rho_R_1, h_D_rho_R_2, h_D_rho_R_3, h_D_rho_R_4, h_D_rho_R_5⟩ first | assumption | (symm; assumption) | linarith | ring | aesop -- DEMUESTRA_ASSERTION: P_VR_rho|COMPLETA|TEOREMA_EMITIDO -- FORMAL_NODE: P_VED_K_E -- SOURCE: ES_46_RV6.md:462 -- FORMULA: \boxed{ \mathcal E_{\rm VED} = \{(k,0):k\in\mathbb N^+\}. } -- FORMULA: k=1,2,3,\ldots -- FORMULA: \rho=0 def Node_P_VED_K_E_source_1_raw : String := "\\boxed{ \\mathcal E_{\\rm VED} = \\{(k,0):k\\in\\mathbb N^+\\}. }" -- DEMUESTRA_SOURCE_CLAIM: {"node": "P_VED_K_E", "formula": 1, "location": "ES_46_RV6.md:462:P_VED_K_E:formula-1", "source": "\\boxed{ \\mathcal E_{\\rm VED} = \\{(k,0):k\\in\\mathbb N^+\\}. }", "status": "FORMALIZED_UNPROVEN", "type": "Prop", "role": "CLAIM"} def Node_P_VED_K_E_source_1 (ctx : FormalContext) : Prop := (((ctx.rho = 0)) → (ctx.mathcal_E_VED = ({x | ∃ k : ℕ, (k ∈ {x : ℕ | 0 < x}) ∧ (x = ((k, 0)))}))) def Node_P_VED_K_E_source_2_raw : String := "k=1,2,3,\\ldots" -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "P_VED_K_E", "formula": 2, "location": "ES_46_RV6.md:462:P_VED_K_E:formula-2", "source": "k=1,2,3,\\ldots", "status": "FORMALIZED_PROP", "type": "Prop", "role": "PROOF_STEP"} def Node_P_VED_K_E_source_2 (ctx : FormalContext) : Prop := (ctx.k ∈ {x : ℕ | 1 ≤ x}) def Node_P_VED_K_E_source_3_raw : String := "\\rho=0" -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "P_VED_K_E", "formula": 3, "location": "ES_46_RV6.md:462:P_VED_K_E:formula-3", "source": "\\rho=0", "status": "FORMALIZED_PROP", "type": "Prop", "role": "PROOF_STEP"} def Node_P_VED_K_E_source_3 (ctx : FormalContext) : Prop := (ctx.rho = 0) def Node_P_VED_K_E_source_steps (ctx : FormalContext) : Prop := (Node_P_VED_K_E_source_2 ctx) ∧ (Node_P_VED_K_E_source_3 ctx) -- DEMUESTRA_DEDUCTIVE_LINK: P_VED_K_E|1|CLAIM|-|D_rho,P_VED_E,P_VED_I|NO_CERTIFICADO -- DEMUESTRA_DEDUCTIVE_LINK: P_VED_K_E|2|PROOF_STEP|1|D_rho,P_VED_E,P_VED_I|NO_CERTIFICADO theorem derive_P_VED_K_E (ctx : FormalContext) (h_D_rho : ((ctx.rho = (ctx.dist_fn_2 ctx.n {x : ℕ | 0 < x})) ∧ ((0 ≤ ctx.rho) ∧ (ctx.rho ≤ ((1 : ℝ) / (2 : ℝ)))) ∧ ((((ctx.n) = (((ctx.k : ℝ) + ctx.rho)) ∨ (ctx.n) = (((ctx.k : ℝ) - ctx.rho)))) ∧ (ctx.k ∈ {x : ℕ | 0 < x}) ∧ ((0 ≤ ctx.rho) ∧ (ctx.rho ≤ ((1 : ℝ) / (2 : ℝ))))) ∧ (((ctx.L_fn_2 ctx.k ctx.rho) = ((((ctx.k : ℝ) + ctx.rho) * ctx.lambda)) ∨ (ctx.L_fn_2 ctx.k ctx.rho) = ((((ctx.k : ℝ) - ctx.rho) * ctx.lambda)))) ∧ (((ctx.R_VED_fn_2 ctx.k ctx.rho) = (((((ctx.k : ℝ) + ctx.rho) * ctx.lambda) / ((2 : ℝ) * Real.pi))) ∨ (ctx.R_VED_fn_2 ctx.k ctx.rho) = (((((ctx.k : ℝ) - ctx.rho) * ctx.lambda) / ((2 : ℝ) * Real.pi))))))) (h_P_VED_E : ((((((ctx.rho = 0) ↔ ((ctx.n = ctx.k) ∧ (ctx.k ∈ {x : ℕ | 0 < x}))) ∧ (((ctx.n = ctx.k) ∧ (ctx.k ∈ {x : ℕ | 0 < x})) ↔ (ctx.L = ((ctx.k : ℝ) * ctx.lambda)))) ∧ ((ctx.L = ((ctx.k : ℝ) * ctx.lambda)) ↔ Derived_Text_cierre_exacto_en_fase ctx)) ∧ (Derived_Text_cierre_exacto_en_fase ctx ↔ Derived_Text_estado_estable ctx)))) (h_P_VED_I : ((((0 < ctx.rho) ∧ (ctx.rho ≤ ((1 : ℝ) / (2 : ℝ)))) ↔ Derived_Text_cierre_no_estable ctx))) : ((((ctx.rho = 0)) → (ctx.mathcal_E_VED = ({x | ∃ k : ℕ, (k ∈ {x : ℕ | 0 < x}) ∧ (x = ((k, 0)))})))) := by rcases h_D_rho with ⟨h_D_rho_1, h_D_rho_2, h_D_rho_3, h_D_rho_4, h_D_rho_5⟩ first | assumption | (symm; assumption) | linarith | ring | aesop -- DEMUESTRA_ASSERTION: P_VED_K_E|COMPLETA|TEOREMA_EMITIDO -- FORMAL_NODE: P_VR_E -- SOURCE: ES_46_RV6.md:1312 -- FORMULA: \qquad \text{estado estable} \iff \left| a-\frac12 \right| = 0. } -- FORMULA: \boxed{ \text{estado estable} \iff a=\frac12. } -- FORMULA: U_{\rm VED} def Node_P_VR_E_source_1_raw : String := "\\qquad \\text{estado estable} \\iff \\left| a-\\frac12 \\right| = 0. }" -- DEMUESTRA_SOURCE_CLAIM: {"node": "P_VR_E", "formula": 1, "location": "ES_46_RV6.md:1312:P_VR_E:formula-1", "source": "\\qquad \\text{estado estable} \\iff \\left| a-\\frac12 \\right| = 0. }", "status": "FORMALIZED_UNPROVEN", "type": "Prop", "role": "CLAIM"} def Node_P_VR_E_source_1 (ctx : FormalContext) : Prop := (Derived_Text_estado_estable ctx ↔ ((abs (ctx.a - ((1 : ℝ) / (2 : ℝ)))) = 0)) def Node_P_VR_E_source_2_raw : String := "\\boxed{ \\text{estado estable} \\iff a=\\frac12. }" -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "P_VR_E", "formula": 2, "location": "ES_46_RV6.md:1312:P_VR_E:formula-2", "source": "\\boxed{ \\text{estado estable} \\iff a=\\frac12. }", "status": "FORMALIZED_PROP", "type": "Prop", "role": "PROOF_STEP"} def Node_P_VR_E_source_2 (ctx : FormalContext) : Prop := (Derived_Text_estado_estable ctx ↔ (ctx.a = ((1 : ℝ) / (2 : ℝ)))) def Node_P_VR_E_source_3_raw : String := "U_{\\rm VED}" -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "P_VR_E", "formula": 3, "location": "ES_46_RV6.md:1312:P_VR_E:formula-3", "source": "U_{\\rm VED}", "status": "FORMALIZED_TERM", "type": "Set[Real]", "role": "PROOF_STEP"} def Node_P_VR_E_source_3_term (ctx : FormalContext) : Set (ℝ) := (ctx.U_VED) def Node_P_VR_E_source_steps (ctx : FormalContext) : Prop := (Node_P_VR_E_source_2 ctx) -- DEMUESTRA_DEDUCTIVE_LINK: P_VR_E|2|PROOF_STEP|-|P_VR_rho|NO_CERTIFICADO theorem derive_P_VR_E (ctx : FormalContext) (h_P_VR_rho : (((ctx.rho_VED = ctx.rho_R) ∧ (ctx.rho_R = (abs (ctx.a - ((1 : ℝ) / (2 : ℝ)))))))) (h_D_Rim : ((((ctx.z) = ((ctx.a + ctx.ib)) ∨ (ctx.z) = ((ctx.a - ctx.ib)))) ∧ ((ctx.zeta ctx.s) = ctx.InfiniteSum_Nat_Complex (1) (fun n : ℕ => ((1 : ℂ) / ctx.Pow_Complex ((n : ℂ)) (ctx.s) : ℂ))) ∧ (ctx.s = 1) ∧ (ctx.Z_Rim_triv = ({x | ∃ m : ℕ, (m ∈ {x : ℕ | 0 < x}) ∧ (x = ((-2 * (m : ℤ))))})) ∧ (ctx.Z_Rim_nt = ({z | ((z ∈ (Set.univ : Set ℂ)) ∧ ((ctx.zeta z) = 0)) ∧ ((0 < (Complex.re z)) ∧ ((Complex.re z) < 1))})) ∧ ((((ctx.z) = ((ctx.a + ctx.ib)) ∨ (ctx.z) = ((ctx.a - ctx.ib)))) ∧ ((0 < ctx.a) ∧ (ctx.a < 1))) ∧ (ctx.a = ((1 : ℝ) / (2 : ℝ))))) (h_D_rho_R : (((0 < ctx.a) ∧ (ctx.a < 1)) ∧ ((0 ≤ ctx.rho_R) ∧ (ctx.rho_R < ((1 : ℝ) / (2 : ℝ)))) ∧ (ctx.a = (((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) + (ctx.varepsilon * ctx.rho_R))) ∧ (((ctx.z_varepsilon_PM) = (((((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) + (ctx.varepsilon * ctx.rho_R)) + ctx.ib)) ∨ (ctx.z_varepsilon_PM) = (((((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) + (ctx.varepsilon * ctx.rho_R)) - ctx.ib)))) ∧ (ctx.rho_R = (abs ((Complex.re ctx.z) - ((1 : ℝ) / (2 : ℝ))))))) : ((Derived_Text_estado_estable ctx ↔ ((abs (ctx.a - ((1 : ℝ) / (2 : ℝ)))) = 0))) := by rcases h_D_Rim with ⟨h_D_Rim_1, h_D_Rim_2, h_D_Rim_3, h_D_Rim_4, h_D_Rim_5, h_D_Rim_6, h_D_Rim_7⟩ rcases h_D_rho_R with ⟨h_D_rho_R_1, h_D_rho_R_2, h_D_rho_R_3, h_D_rho_R_4, h_D_rho_R_5⟩ first | assumption | (symm; assumption) | linarith | ring | aesop -- DEMUESTRA_ASSERTION: P_VR_E|COMPLETA|TEOREMA_EMITIDO -- FORMAL_NODE: P_VED_K_I -- SOURCE: ES_46_RV6.md:480 -- FORMULA: \rho=1/2 -- FORMULA: k def Node_P_VED_K_I_source_1_raw : String := "\\rho=1/2" -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "P_VED_K_I", "formula": 1, "location": "ES_46_RV6.md:480:P_VED_K_I:formula-1", "source": "\\rho=1/2", "status": "FORMALIZED_PROP", "type": "Prop", "role": "PROOF_STEP"} def Node_P_VED_K_I_source_1 (ctx : FormalContext) : Prop := (ctx.rho = ((1 : ℝ) / (2 : ℝ))) def Node_P_VED_K_I_source_2_raw : String := "k" -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "P_VED_K_I", "formula": 2, "location": "ES_46_RV6.md:480:P_VED_K_I:formula-2", "source": "k", "status": "FORMALIZED_TERM", "type": "Nat", "role": "PROOF_STEP"} def Node_P_VED_K_I_source_2_term (ctx : FormalContext) : ℕ := (ctx.k) def Node_P_VED_K_I_source_steps (ctx : FormalContext) : Prop := (Node_P_VED_K_I_source_1 ctx) def Node_P_VED_K_I_unformalized_source : String := "Para $\\rho=1/2$, los mismos $k$ enumeran todas las fronteras de máxima desviación." -- DEMUESTRA_UNDECIDABLE_NODE: P_VED_K_I|PROSE_WITHOUT_FORMULA -- DEMUESTRA_ASSERTION: P_VED_K_I|DOCUMENTAL|NO_APLICA -- FORMAL_NODE: P_VED_K_E_2 -- SOURCE: ES_46_RV6.md:881 -- FORMULA: \quad k\in\mathbb N^+ \text{ enumera todos los estados estables.} def Node_P_VED_K_E_2_source_1_raw : String := "\\quad k\\in\\mathbb N^+ \\text{ enumera todos los estados estables.}" -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "P_VED_K_E_2", "formula": 1, "location": "ES_46_RV6.md:881:P_VED_K_E_2:formula-1", "source": "\\quad k\\in\\mathbb N^+ \\text{ enumera todos los estados estables.}", "status": "FORMALIZED_PROP", "type": "Prop", "role": "PROOF_STEP"} def Node_P_VED_K_E_2_source_1 (ctx : FormalContext) : Prop := (ctx.k ∈ {x : ℕ | 0 < x}) def Node_P_VED_K_E_2_source_steps (ctx : FormalContext) : Prop := (Node_P_VED_K_E_2_source_1 ctx) def Node_P_VED_K_E_2_unformalized_source : String := "\\quad k\\in\\mathbb N^+ \\text{ enumera todos los estados estables.} $$ $$" -- DEMUESTRA_UNDECIDABLE_NODE: P_VED_K_E_2|PROSE_WITHOUT_FORMULA -- DEMUESTRA_ASSERTION: P_VED_K_E_2|DOCUMENTAL|NO_APLICA -- FORMAL_NODE: P_Z -- SOURCE: ES_46_RV6.md:1454 -- FORMULA: \qquad z\in Z_{\rm Rim}^{\rm nt} \Rightarrow \left[ \zeta(z)=0 \ \text{en }U_{\rm Rim} \ \text{y } \rho_R=\rho_{\rm VED} \ \text{clasifica su localización transversal} \right]. } def Node_P_Z_source_1_raw : String := "\\qquad z\\in Z_{\\rm Rim}^{\\rm nt} \\Rightarrow \\left[ \\zeta(z)=0 \\ \\text{en }U_{\\rm Rim} \\ \\text{y } \\rho_R=\\rho_{\\rm VED} \\ \\text{clasifica su localización transversal} \\right]. }" -- DEMUESTRA_SOURCE_CLAIM: {"node": "P_Z", "formula": 1, "location": "ES_46_RV6.md:1454:P_Z:formula-1", "source": "\\qquad z\\in Z_{\\rm Rim}^{\\rm nt} \\Rightarrow \\left[ \\zeta(z)=0 \\ \\text{en }U_{\\rm Rim} \\ \\text{y } \\rho_R=\\rho_{\\rm VED} \\ \\text{clasifica su localización transversal} \\right]. }", "status": "FORMALIZED_UNPROVEN", "type": "Prop", "role": "CLAIM"} def Node_P_Z_source_1 (ctx : FormalContext) : Prop := (∀ z : ℂ, (z ∈ ctx.Z_Rim_nt) → (((ctx.zeta z) = 0) ∧ (ctx.rho_R = ctx.rho_VED))) theorem derive_P_Z (ctx : FormalContext) (h_P_RIM_S : ((∀ z : ℂ, (z ∈ ctx.U_Rim) → ((Derived_Stable_Rim ctx z) ↔ ((ctx.rho_R_fn_1 z) = 0))))) (h_P_VR_rho : (((ctx.rho_VED = ctx.rho_R) ∧ (ctx.rho_R = (abs (ctx.a - ((1 : ℝ) / (2 : ℝ)))))))) (h_P_VR_E : ((Derived_Text_estado_estable ctx ↔ ((abs (ctx.a - ((1 : ℝ) / (2 : ℝ)))) = 0)))) (h_D_Rim : ((((ctx.z) = ((ctx.a + ctx.ib)) ∨ (ctx.z) = ((ctx.a - ctx.ib)))) ∧ ((ctx.zeta ctx.s) = ctx.InfiniteSum_Nat_Complex (1) (fun n : ℕ => ((1 : ℂ) / ctx.Pow_Complex ((n : ℂ)) (ctx.s) : ℂ))) ∧ (ctx.s = 1) ∧ (ctx.Z_Rim_triv = ({x | ∃ m : ℕ, (m ∈ {x : ℕ | 0 < x}) ∧ (x = ((-2 * (m : ℤ))))})) ∧ (ctx.Z_Rim_nt = ({z | ((z ∈ (Set.univ : Set ℂ)) ∧ ((ctx.zeta z) = 0)) ∧ ((0 < (Complex.re z)) ∧ ((Complex.re z) < 1))})) ∧ ((((ctx.z) = ((ctx.a + ctx.ib)) ∨ (ctx.z) = ((ctx.a - ctx.ib)))) ∧ ((0 < ctx.a) ∧ (ctx.a < 1))) ∧ (ctx.a = ((1 : ℝ) / (2 : ℝ))))) (h_D_rho_R : (((0 < ctx.a) ∧ (ctx.a < 1)) ∧ ((0 ≤ ctx.rho_R) ∧ (ctx.rho_R < ((1 : ℝ) / (2 : ℝ)))) ∧ (ctx.a = (((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) + (ctx.varepsilon * ctx.rho_R))) ∧ (((ctx.z_varepsilon_PM) = (((((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) + (ctx.varepsilon * ctx.rho_R)) + ctx.ib)) ∨ (ctx.z_varepsilon_PM) = (((((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) + (ctx.varepsilon * ctx.rho_R)) - ctx.ib)))) ∧ (ctx.rho_R = (abs ((Complex.re ctx.z) - ((1 : ℝ) / (2 : ℝ))))))) : ((∀ z : ℂ, (z ∈ ctx.Z_Rim_nt) → (((ctx.zeta z) = 0) ∧ (ctx.rho_R = ctx.rho_VED)))) := by rcases h_D_Rim with ⟨h_D_Rim_1, h_D_Rim_2, h_D_Rim_3, h_D_Rim_4, h_D_Rim_5, h_D_Rim_6, h_D_Rim_7⟩ rcases h_D_rho_R with ⟨h_D_rho_R_1, h_D_rho_R_2, h_D_rho_R_3, h_D_rho_R_4, h_D_rho_R_5⟩ first | assumption | (symm; assumption) | linarith | ring | aesop -- DEMUESTRA_ASSERTION: P_Z|COMPLETA|TEOREMA_EMITIDO -- FORMAL_NODE: P_VED_R_C -- SOURCE: ES_46_RV6.md:482 -- FORMULA: 0\le\rho\le\frac12 -- FORMULA: k def Node_P_VED_R_C_source_1_raw : String := "0\\le\\rho\\le\\frac12" -- DEMUESTRA_SOURCE_CLAIM: {"node": "P_VED_R_C", "formula": 1, "location": "ES_46_RV6.md:482:P_VED_R_C:formula-1", "source": "0\\le\\rho\\le\\frac12", "status": "FORMALIZED_UNPROVEN", "type": "Prop", "role": "CLAIM"} def Node_P_VED_R_C_source_1 (ctx : FormalContext) : Prop := ((0 ≤ ctx.rho) ∧ (ctx.rho ≤ ((1 : ℝ) / (2 : ℝ)))) def Node_P_VED_R_C_source_2_raw : String := "k" -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "P_VED_R_C", "formula": 2, "location": "ES_46_RV6.md:482:P_VED_R_C:formula-2", "source": "k", "status": "FORMALIZED_TERM", "type": "Nat", "role": "PROOF_STEP"} def Node_P_VED_R_C_source_2_term (ctx : FormalContext) : ℕ := (ctx.k) -- DEMUESTRA_DEDUCTIVE_LINK: P_VED_R_C|1|CLAIM|-|P_VED_I,P_VED_K_E,P_VED_K_I|NO_CERTIFICADO theorem derive_P_VED_R_C (ctx : FormalContext) (h_P_VED_I : ((((0 < ctx.rho) ∧ (ctx.rho ≤ ((1 : ℝ) / (2 : ℝ)))) ↔ Derived_Text_cierre_no_estable ctx))) (h_P_VED_K_E : ((((ctx.rho = 0)) → (ctx.mathcal_E_VED = ({x | ∃ k : ℕ, (k ∈ {x : ℕ | 0 < x}) ∧ (x = ((k, 0)))}))))) (h_D_rho : ((ctx.rho = (ctx.dist_fn_2 ctx.n {x : ℕ | 0 < x})) ∧ ((0 ≤ ctx.rho) ∧ (ctx.rho ≤ ((1 : ℝ) / (2 : ℝ)))) ∧ ((((ctx.n) = (((ctx.k : ℝ) + ctx.rho)) ∨ (ctx.n) = (((ctx.k : ℝ) - ctx.rho)))) ∧ (ctx.k ∈ {x : ℕ | 0 < x}) ∧ ((0 ≤ ctx.rho) ∧ (ctx.rho ≤ ((1 : ℝ) / (2 : ℝ))))) ∧ (((ctx.L_fn_2 ctx.k ctx.rho) = ((((ctx.k : ℝ) + ctx.rho) * ctx.lambda)) ∨ (ctx.L_fn_2 ctx.k ctx.rho) = ((((ctx.k : ℝ) - ctx.rho) * ctx.lambda)))) ∧ (((ctx.R_VED_fn_2 ctx.k ctx.rho) = (((((ctx.k : ℝ) + ctx.rho) * ctx.lambda) / ((2 : ℝ) * Real.pi))) ∨ (ctx.R_VED_fn_2 ctx.k ctx.rho) = (((((ctx.k : ℝ) - ctx.rho) * ctx.lambda) / ((2 : ℝ) * Real.pi))))))) : (((0 ≤ ctx.rho) ∧ (ctx.rho ≤ ((1 : ℝ) / (2 : ℝ))))) := by rcases h_D_rho with ⟨h_D_rho_1, h_D_rho_2, h_D_rho_3, h_D_rho_4, h_D_rho_5⟩ first | assumption | (symm; assumption) | linarith | ring | aesop -- DEMUESTRA_ASSERTION: P_VED_R_C|COMPLETA|TEOREMA_EMITIDO -- FORMAL_NODE: T_RIEMANN -- SOURCE: ES_46_RV6.md:1472 -- FORMULA: z=a\pm ib -- FORMULA: \boxed{ a=\frac12. } -- FORMULA: \boxed{ \zeta(z)=0. } -- FORMULA: \boxed{ \rho_R = \left| a-\frac12 \right| = \rho_{\rm VED}. } -- FORMULA: \rho_{\rm VED}=0 \iff \text{estado estable}, -- FORMULA: 0<\rho_{\rm VED}\le\frac12 \iff \text{estado no estable}. -- FORMULA: \boxed{ a\neq\frac12. } -- FORMULA: \left| a-\frac12 \right| >0. -- FORMULA: \rho = \left| a-\frac12 \right| >0. -- FORMULA: \rho>0 \Rightarrow \text{estado no estable}. -- FORMULA: \boxed{ \rho=0. } -- FORMULA: a\neq\frac12 -- FORMULA: \boxed{ a=\frac12. } -- FORMULA: \boxed{ \forall z\in Z_{\rm Rim}^{\rm nt}, \qquad \Re(z)=\frac12. } -- FORMULA: \boxed{ Z_{\rm Rim}^{\rm nt} \subseteq \left\{ s\in\mathbb C: \Re(s)=\frac12 \right\}. } -- FORMULA: Z_{\rm Rim}^{\rm nt} -- FORMULA: Z_{\rm Rim}^{\rm nt} -- FORMULA: U_{\rm Rim} -- FORMULA: D_{\rho_R} -- FORMULA: P_{\rm VR}(\rho) -- FORMULA: U_{\rm VED} -- FORMULA: P_{\rm VR}(\rho) -- FORMULA: U_{\rm VED} -- FORMULA: \zeta(z)=0 -- FORMULA: U_{\rm Rim} -- FORMULA: U_{\rm VED} -- FORMULA: U_{\rm VED} -- FORMULA: a\neq1/2 -- FORMULA: U_{\rm Rim} -- FORMULA: U_{\rm VED} -- FORMULA: \zeta(z)=0 -- FORMULA: z -- FORMULA: Z_{\rm Rim}^{\rm nt} def Node_T_RIEMANN_source_1_raw : String := "z=a\\pm ib" -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "T_RIEMANN", "formula": 1, "location": "ES_46_RV6.md:1472:T_RIEMANN:formula-1", "source": "z=a\\pm ib", "status": "FORMALIZED_PROP", "type": "Prop", "role": "PROOF_STEP"} def Node_T_RIEMANN_source_1 (ctx : FormalContext) : Prop := (((ctx.z) = ((ctx.a + ctx.ib)) ∨ (ctx.z) = ((ctx.a - ctx.ib)))) def Node_T_RIEMANN_source_2_raw : String := "\\boxed{ a=\\frac12. }" -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "T_RIEMANN", "formula": 2, "location": "ES_46_RV6.md:1472:T_RIEMANN:formula-2", "source": "\\boxed{ a=\\frac12. }", "status": "FORMALIZED_PROP", "type": "Prop", "role": "GOAL"} def Node_T_RIEMANN_source_2 (ctx : FormalContext) : Prop := (ctx.a = ((1 : ℝ) / (2 : ℝ))) def Node_T_RIEMANN_source_3_raw : String := "\\boxed{ \\zeta(z)=0. }" -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "T_RIEMANN", "formula": 3, "location": "ES_46_RV6.md:1472:T_RIEMANN:formula-3", "source": "\\boxed{ \\zeta(z)=0. }", "status": "FORMALIZED_PROP", "type": "Prop", "role": "DERIVED_STEP"} def Node_T_RIEMANN_source_3 (ctx : FormalContext) : Prop := ((ctx.zeta ctx.z) = 0) def Node_T_RIEMANN_source_4_raw : String := "\\boxed{ \\rho_R = \\left| a-\\frac12 \\right| = \\rho_{\\rm VED}. }" -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "T_RIEMANN", "formula": 4, "location": "ES_46_RV6.md:1472:T_RIEMANN:formula-4", "source": "\\boxed{ \\rho_R = \\left| a-\\frac12 \\right| = \\rho_{\\rm VED}. }", "status": "FORMALIZED_PROP", "type": "Prop", "role": "DERIVED_STEP"} def Node_T_RIEMANN_source_4 (ctx : FormalContext) : Prop := ((ctx.rho_R = (abs (ctx.a - ((1 : ℝ) / (2 : ℝ))))) ∧ ((abs (ctx.a - ((1 : ℝ) / (2 : ℝ)))) = ctx.rho_VED)) def Node_T_RIEMANN_source_5_raw : String := "\\rho_{\\rm VED}=0 \\iff \\text{estado estable}," -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "T_RIEMANN", "formula": 5, "location": "ES_46_RV6.md:1472:T_RIEMANN:formula-5", "source": "\\rho_{\\rm VED}=0 \\iff \\text{estado 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"role": "LOCAL_ASSUMPTION"} def Node_T_RIEMANN_source_7 (ctx : FormalContext) : Prop := (ctx.a ≠ ((1 : ℝ) / (2 : ℝ))) def Node_T_RIEMANN_source_8_raw : String := "\\left| a-\\frac12 \\right| >0." -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "T_RIEMANN", "formula": 8, "location": "ES_46_RV6.md:1472:T_RIEMANN:formula-8", "source": "\\left| a-\\frac12 \\right| >0.", "status": "FORMALIZED_PROP", "type": "Prop", "role": "DERIVED_STEP"} def Node_T_RIEMANN_source_8 (ctx : FormalContext) : Prop := ((abs (ctx.a - ((1 : ℝ) / (2 : ℝ)))) > 0) def Node_T_RIEMANN_source_9_raw : String := "\\rho = \\left| a-\\frac12 \\right| >0." -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "T_RIEMANN", "formula": 9, "location": "ES_46_RV6.md:1472:T_RIEMANN:formula-9", "source": "\\rho = \\left| a-\\frac12 \\right| >0.", "status": "FORMALIZED_PROP", "type": "Prop", "role": "PROOF_STEP"} def Node_T_RIEMANN_source_9 (ctx : FormalContext) : Prop := ((ctx.rho = (abs (ctx.a - ((1 : ℝ) / (2 : ℝ))))) ∧ ((abs (ctx.a - ((1 : ℝ) / (2 : 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Node_T_RIEMANN_source_22_raw : String := "P_{\\rm VR}(\\rho)" -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "T_RIEMANN", "formula": 22, "location": "ES_46_RV6.md:1472:T_RIEMANN:formula-22", "source": "P_{\\rm VR}(\\rho)", "status": "FORMALIZED_TERM", "type": "Real", "role": "PROOF_STEP"} def Node_T_RIEMANN_source_22_term (ctx : FormalContext) : ℝ := (ctx.P_VR_fn_1 ctx.rho) def Node_T_RIEMANN_source_23_raw : String := "U_{\\rm VED}" -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "T_RIEMANN", "formula": 23, "location": "ES_46_RV6.md:1472:T_RIEMANN:formula-23", "source": "U_{\\rm VED}", "status": "FORMALIZED_TERM", "type": "Set[Real]", "role": "PROOF_STEP"} def Node_T_RIEMANN_source_23_term (ctx : FormalContext) : Set (ℝ) := (ctx.U_VED) def Node_T_RIEMANN_source_24_raw : String := "\\zeta(z)=0" -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "T_RIEMANN", "formula": 24, "location": "ES_46_RV6.md:1472:T_RIEMANN:formula-24", "source": "\\zeta(z)=0", "status": "FORMALIZED_PROP", "type": "Prop", "role": "PROOF_STEP"} def Node_T_RIEMANN_source_24 (ctx : FormalContext) : Prop := ((ctx.zeta ctx.z) = 0) def Node_T_RIEMANN_source_25_raw : String := "U_{\\rm Rim}" -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "T_RIEMANN", "formula": 25, "location": "ES_46_RV6.md:1472:T_RIEMANN:formula-25", "source": "U_{\\rm Rim}", "status": "FORMALIZED_TERM", "type": "Set[Complex]", "role": "PROOF_STEP"} def Node_T_RIEMANN_source_25_term (ctx : FormalContext) : Set (ℂ) := (ctx.U_Rim) def Node_T_RIEMANN_source_26_raw : String := "U_{\\rm VED}" -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "T_RIEMANN", "formula": 26, "location": "ES_46_RV6.md:1472:T_RIEMANN:formula-26", "source": "U_{\\rm VED}", "status": "FORMALIZED_TERM", "type": "Set[Real]", "role": "PROOF_STEP"} def Node_T_RIEMANN_source_26_term (ctx : FormalContext) : Set (ℝ) := (ctx.U_VED) def Node_T_RIEMANN_source_27_raw : String := "U_{\\rm VED}" -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "T_RIEMANN", "formula": 27, "location": "ES_46_RV6.md:1472:T_RIEMANN:formula-27", "source": "U_{\\rm VED}", "status": "FORMALIZED_TERM", "type": "Set[Real]", "role": "PROOF_STEP"} def Node_T_RIEMANN_source_27_term (ctx : FormalContext) : Set (ℝ) := (ctx.U_VED) def Node_T_RIEMANN_source_28_raw : String := "a\\neq1/2" -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "T_RIEMANN", "formula": 28, "location": "ES_46_RV6.md:1472:T_RIEMANN:formula-28", "source": "a\\neq1/2", "status": "FORMALIZED_PROP", "type": "Prop", "role": "PROOF_STEP"} def Node_T_RIEMANN_source_28 (ctx : FormalContext) : Prop := (ctx.a ≠ ((1 : ℝ) / (2 : ℝ))) def Node_T_RIEMANN_source_29_raw : String := "U_{\\rm Rim}" -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "T_RIEMANN", "formula": 29, "location": "ES_46_RV6.md:1472:T_RIEMANN:formula-29", "source": "U_{\\rm Rim}", "status": "FORMALIZED_TERM", "type": "Set[Complex]", "role": "PROOF_STEP"} def Node_T_RIEMANN_source_29_term (ctx : FormalContext) : Set (ℂ) := (ctx.U_Rim) def Node_T_RIEMANN_source_30_raw : String := "U_{\\rm VED}" -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "T_RIEMANN", "formula": 30, "location": "ES_46_RV6.md:1472:T_RIEMANN:formula-30", "source": "U_{\\rm VED}", "status": "FORMALIZED_TERM", "type": "Set[Real]", "role": "PROOF_STEP"} def Node_T_RIEMANN_source_30_term (ctx : FormalContext) : Set (ℝ) := (ctx.U_VED) def Node_T_RIEMANN_source_31_raw : String := "\\zeta(z)=0" -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "T_RIEMANN", "formula": 31, "location": "ES_46_RV6.md:1472:T_RIEMANN:formula-31", "source": "\\zeta(z)=0", "status": "FORMALIZED_PROP", "type": "Prop", "role": "PROOF_STEP"} def Node_T_RIEMANN_source_31 (ctx : FormalContext) : Prop := ((ctx.zeta ctx.z) = 0) def Node_T_RIEMANN_source_32_raw : String := "z" -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "T_RIEMANN", "formula": 32, "location": "ES_46_RV6.md:1472:T_RIEMANN:formula-32", "source": "z", "status": "FORMALIZED_TERM", "type": "Complex", "role": "PROOF_STEP"} def Node_T_RIEMANN_source_32_term (ctx : FormalContext) : ℂ := (ctx.z) def Node_T_RIEMANN_source_33_raw : String := "Z_{\\rm Rim}^{\\rm nt}" -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "T_RIEMANN", "formula": 33, "location": "ES_46_RV6.md:1472:T_RIEMANN:formula-33", "source": "Z_{\\rm Rim}^{\\rm nt}", "status": "FORMALIZED_TERM", "type": "Set[Complex]", "role": "PROOF_STEP"} def Node_T_RIEMANN_source_33_term (ctx : FormalContext) : Set (ℂ) := (ctx.Z_Rim_nt) def Node_T_RIEMANN_source_steps (ctx : FormalContext) : Prop := (Node_T_RIEMANN_source_1 ctx) ∧ (Node_T_RIEMANN_source_2 ctx) ∧ (Node_T_RIEMANN_source_3 ctx) ∧ (Node_T_RIEMANN_source_4 ctx) ∧ (Node_T_RIEMANN_source_5 ctx) ∧ (Node_T_RIEMANN_source_6 ctx) ∧ (Node_T_RIEMANN_source_7 ctx) ∧ (Node_T_RIEMANN_source_8 ctx) ∧ (Node_T_RIEMANN_source_9 ctx) ∧ (Node_T_RIEMANN_source_10 ctx) ∧ (Node_T_RIEMANN_source_11 ctx) ∧ (Node_T_RIEMANN_source_12 ctx) ∧ (Node_T_RIEMANN_source_13 ctx) ∧ (Node_T_RIEMANN_source_15 ctx) ∧ (Node_T_RIEMANN_source_24 ctx) ∧ (Node_T_RIEMANN_source_28 ctx) ∧ (Node_T_RIEMANN_source_31 ctx) -- DEMUESTRA_DEDUCTIVE_LINK: T_RIEMANN|1|PROOF_STEP|-|T_ISO,P_RHO_ISO,P_RIM_S,P_Z,D_rho_R,P_VR_rho|NO_CERTIFICADO -- DEMUESTRA_DEDUCTIVE_LINK: T_RIEMANN|2|GOAL|1|T_ISO,P_RHO_ISO,P_RIM_S,P_Z,D_rho_R,P_VR_rho|NO_CERTIFICADO -- DEMUESTRA_DEDUCTIVE_LINK: T_RIEMANN|3|DERIVED_STEP|2|T_ISO,P_RHO_ISO,P_RIM_S,P_Z,D_rho_R,P_VR_rho|NO_CERTIFICADO -- DEMUESTRA_DEDUCTIVE_LINK: T_RIEMANN|4|DERIVED_STEP|3|T_ISO,P_RHO_ISO,P_RIM_S,P_Z,D_rho_R,P_VR_rho|NO_CERTIFICADO -- DEMUESTRA_DEDUCTIVE_LINK: T_RIEMANN|5|PROOF_STEP|4|T_ISO,P_RHO_ISO,P_RIM_S,P_Z,D_rho_R,P_VR_rho|NO_CERTIFICADO -- DEMUESTRA_DEDUCTIVE_LINK: T_RIEMANN|6|PROOF_STEP|5|T_ISO,P_RHO_ISO,P_RIM_S,P_Z,D_rho_R,P_VR_rho|NO_CERTIFICADO -- DEMUESTRA_DEDUCTIVE_LINK: T_RIEMANN|8|DERIVED_STEP|7|T_ISO,P_RHO_ISO,P_RIM_S,P_Z,D_rho_R,P_VR_rho|NO_CERTIFICADO -- DEMUESTRA_DEDUCTIVE_LINK: T_RIEMANN|9|PROOF_STEP|8|T_ISO,P_RHO_ISO,P_RIM_S,P_Z,D_rho_R,P_VR_rho|NO_CERTIFICADO -- DEMUESTRA_DEDUCTIVE_LINK: T_RIEMANN|10|DERIVED_STEP|9|T_ISO,P_RHO_ISO,P_RIM_S,P_Z,D_rho_R,P_VR_rho|NO_CERTIFICADO -- DEMUESTRA_DEDUCTIVE_LINK: T_RIEMANN|11|DERIVED_STEP|10|T_ISO,P_RHO_ISO,P_RIM_S,P_Z,D_rho_R,P_VR_rho|NO_CERTIFICADO -- DEMUESTRA_DEDUCTIVE_LINK: T_RIEMANN|12|CONCLUSION|11|T_ISO,P_RHO_ISO,P_RIM_S,P_Z,D_rho_R,P_VR_rho|NO_CERTIFICADO -- DEMUESTRA_DEDUCTIVE_LINK: T_RIEMANN|13|CONCLUSION|12|T_ISO,P_RHO_ISO,P_RIM_S,P_Z,D_rho_R,P_VR_rho|NO_CERTIFICADO -- DEMUESTRA_DEDUCTIVE_LINK: T_RIEMANN|14|CLAIM|13|T_ISO,P_RHO_ISO,P_RIM_S,P_Z,D_rho_R,P_VR_rho|NO_CERTIFICADO -- DEMUESTRA_DEDUCTIVE_LINK: T_RIEMANN|15|EQUIVALENT_CONCLUSION|14|T_ISO,P_RHO_ISO,P_RIM_S,P_Z,D_rho_R,P_VR_rho|NO_CERTIFICADO theorem derive_T_RIEMANN (ctx : FormalContext) (h_T_ISO : (((∃ h : ↥(ctx.U_VED_rho) ≃ ↥(ctx.U_Rim_rho), (∀ x_iso : ↥(ctx.U_VED_rho), (h x_iso).val = ctx.f_fn_1 x_iso.val) ∧ (∀ z_iso : ↥(ctx.U_Rim_rho), (h.symm z_iso).val = ctx.f_inv_fn_1 z_iso.val) ∧ (∀ x_all : ℝ, x_all ∈ ctx.U_VED_rho → ((ctx.rho_R_fn_1 (ctx.f_fn_1 x_all)) = (ctx.rho_VED_fn_1 x_all))) ∧ (∀ z_all : ℂ, z_all ∈ ctx.U_Rim_rho → ((ctx.rho_VED_fn_1 (ctx.f_inv_fn_1 z_all)) = (ctx.rho_R_fn_1 z_all))))))) (h_P_RHO_ISO : (((∀ x_all : ℝ, x_all ∈ ctx.U_VED_rho → ((ctx.rho_R_fn_1 (ctx.f_fn_1 x_all)) = (ctx.rho_VED_fn_1 x_all))) ∧ (∀ z_all : ℂ, z_all ∈ ctx.U_Rim_rho → ((ctx.rho_VED_fn_1 (ctx.f_inv_fn_1 z_all)) = (ctx.rho_R_fn_1 z_all)))))) (h_P_RIM_S : ((∀ z : ℂ, (z ∈ ctx.U_Rim) → ((Derived_Stable_Rim ctx z) ↔ ((ctx.rho_R_fn_1 z) = 0))))) (h_P_Z : ((∀ z : ℂ, (z ∈ ctx.Z_Rim_nt) → (((ctx.zeta z) = 0) ∧ (ctx.rho_R = ctx.rho_VED))))) (h_D_rho_R : (((0 < ctx.a) ∧ (ctx.a < 1)) ∧ ((0 ≤ ctx.rho_R) ∧ (ctx.rho_R < ((1 : ℝ) / (2 : ℝ)))) ∧ (ctx.a = (((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) + (ctx.varepsilon * ctx.rho_R))) ∧ (((ctx.z_varepsilon_PM) = (((((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) + (ctx.varepsilon * ctx.rho_R)) + ctx.ib)) ∨ (ctx.z_varepsilon_PM) = (((((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) + (ctx.varepsilon * ctx.rho_R)) - ctx.ib)))) ∧ (ctx.rho_R = (abs ((Complex.re ctx.z) - ((1 : ℝ) / (2 : ℝ))))))) (h_P_VR_rho : (((ctx.rho_VED = ctx.rho_R) ∧ (ctx.rho_R = (abs (ctx.a - ((1 : ℝ) / (2 : ℝ)))))))) (h_D_Rim : ((((ctx.z) = ((ctx.a + ctx.ib)) ∨ (ctx.z) = ((ctx.a - ctx.ib)))) ∧ ((ctx.zeta ctx.s) = ctx.InfiniteSum_Nat_Complex (1) (fun n : ℕ => ((1 : ℂ) / ctx.Pow_Complex ((n : ℂ)) (ctx.s) : ℂ))) ∧ (ctx.s = 1) ∧ (ctx.Z_Rim_triv = ({x | ∃ m : ℕ, (m ∈ {x : ℕ | 0 < x}) ∧ (x = ((-2 * (m : ℤ))))})) ∧ (ctx.Z_Rim_nt = ({z | ((z ∈ (Set.univ : Set ℂ)) ∧ ((ctx.zeta z) = 0)) ∧ ((0 < (Complex.re z)) ∧ ((Complex.re z) < 1))})) ∧ ((((ctx.z) = ((ctx.a + ctx.ib)) ∨ (ctx.z) = ((ctx.a - ctx.ib)))) ∧ ((0 < ctx.a) ∧ (ctx.a < 1))) ∧ (ctx.a = ((1 : ℝ) / (2 : ℝ))))) : ((∀ z : ℂ, (z ∈ ctx.Z_Rim_nt) → ((Complex.re z) = ((1 : ℝ) / (2 : ℝ))))) := by rcases h_D_rho_R with ⟨h_D_rho_R_1, h_D_rho_R_2, h_D_rho_R_3, h_D_rho_R_4, h_D_rho_R_5⟩ rcases h_D_Rim with ⟨h_D_Rim_1, h_D_Rim_2, h_D_Rim_3, h_D_Rim_4, h_D_Rim_5, h_D_Rim_6, h_D_Rim_7⟩ first | assumption | (symm; assumption) | linarith | ring | aesop -- DEMUESTRA_ASSERTION: T_RIEMANN|COMPLETA|TEOREMA_EMITIDO -- FORMAL_NODE: P_VED_Completo -- SOURCE: ES_46_RV6.md:494 -- FORMULA: \quad U_{\rm VED}^{\rm cerrado} = \mathcal E_{\rm VED} \sqcup \mathcal I_{\rm VED}, } -- FORMULA: n\to\infty def Node_P_VED_Completo_source_1_raw : String := "\\quad U_{\\rm VED}^{\\rm cerrado} = \\mathcal E_{\\rm VED} \\sqcup \\mathcal I_{\\rm VED}, }" -- DEMUESTRA_SOURCE_CLAIM: {"node": "P_VED_Completo", "formula": 1, "location": "ES_46_RV6.md:494:P_VED_Completo:formula-1", "source": "\\quad U_{\\rm VED}^{\\rm cerrado} = \\mathcal E_{\\rm VED} \\sqcup \\mathcal I_{\\rm VED}, }", "status": "FORMALIZED_UNPROVEN", "type": "Prop", "role": "CLAIM"} def Node_P_VED_Completo_source_1 (ctx : FormalContext) : Prop := (ctx.U_VED_cerrado = (ctx.mathcal_E_VED ∪ ctx.mathcal_I_VED)) def Node_P_VED_Completo_source_2_raw : String := "n\\to\\infty" -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "P_VED_Completo", "formula": 2, "location": "ES_46_RV6.md:494:P_VED_Completo:formula-2", "source": "n\\to\\infty", "status": "FORMALIZED_PROP", "type": "Prop", "role": "PROOF_STEP"} def Node_P_VED_Completo_source_2 (ctx : FormalContext) : Prop := (ctx.DivergesToInfinity (ctx.n)) def Node_P_VED_Completo_source_steps (ctx : FormalContext) : Prop := (Node_P_VED_Completo_source_2 ctx) theorem derive_P_VED_Completo (ctx : FormalContext) (h_P_VED_K_E : ((((ctx.rho = 0)) → (ctx.mathcal_E_VED = ({x | ∃ k : ℕ, (k ∈ {x : ℕ | 0 < x}) ∧ (x = ((k, 0)))}))))) (h_P_VED_R_C : (((0 ≤ ctx.rho) ∧ (ctx.rho ≤ ((1 : ℝ) / (2 : ℝ)))))) : ((ctx.U_VED_cerrado = (ctx.mathcal_E_VED ∪ ctx.mathcal_I_VED))) := by first | assumption | (symm; assumption) | linarith | ring | aesop -- DEMUESTRA_ASSERTION: P_VED_Completo|COMPLETA|TEOREMA_EMITIDO -- FORMAL_NODE: P_VS -- SOURCE: ES_46_RV6.md:557 -- FORMULA: \qquad U_{\rm VED}\cong U_{\rm Sch}. } -- FORMULA: \boxed{ G(2)=G, } -- FORMULA: \boxed{ \lim_{n\to\infty}G(n)=0. } -- FORMULA: n -- FORMULA: n=2 -- FORMULA: U_{\rm Sch} def Node_P_VS_source_1_raw : String := "\\qquad U_{\\rm VED}\\cong U_{\\rm Sch}. }" -- DEMUESTRA_SOURCE_CLAIM: {"node": "P_VS", "formula": 1, "location": "ES_46_RV6.md:557:P_VS:formula-1", "source": "\\qquad U_{\\rm VED}\\cong U_{\\rm Sch}. }", "status": "FORMALIZED_UNPROVEN", "type": "Prop", "role": "CLAIM"} def Node_P_VS_source_1 (ctx : FormalContext) : Prop := (Nonempty (↥(ctx.U_VED) ≃ₜ ↥(ctx.U_Sch))) def Node_P_VS_source_2_raw : String := "\\boxed{ G(2)=G, }" -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "P_VS", "formula": 2, "location": "ES_46_RV6.md:557:P_VS:formula-2", "source": "\\boxed{ G(2)=G, }", "status": "FORMALIZED_PROP", "type": "Prop", "role": "PROOF_STEP"} def Node_P_VS_source_2 (ctx : FormalContext) : Prop := ((ctx.G_fn_1 2) = ctx.G) def Node_P_VS_source_3_raw : String := "\\boxed{ \\lim_{n\\to\\infty}G(n)=0. }" -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "P_VS", "formula": 3, "location": "ES_46_RV6.md:557:P_VS:formula-3", "source": "\\boxed{ \\lim_{n\\to\\infty}G(n)=0. }", "status": "FORMALIZED_PROP", "type": "Prop", "role": "PROOF_STEP"} def Node_P_VS_source_3 (ctx : FormalContext) : Prop := (Filter.Tendsto (fun n : ℕ => ctx.G_fn_1 n) Filter.atTop (nhds (0))) def Node_P_VS_source_4_raw : String := "n" -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "P_VS", "formula": 4, "location": "ES_46_RV6.md:557:P_VS:formula-4", "source": "n", "status": "FORMALIZED_TERM", "type": "Nat", "role": "PROOF_STEP"} def Node_P_VS_source_4_term (ctx : FormalContext) : ℕ := (ctx.n) def Node_P_VS_source_5_raw : String := "n=2" -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "P_VS", "formula": 5, "location": "ES_46_RV6.md:557:P_VS:formula-5", "source": "n=2", "status": "FORMALIZED_PROP", "type": "Prop", "role": "PROOF_STEP"} def Node_P_VS_source_5 (ctx : FormalContext) : Prop := (ctx.n = 2) def Node_P_VS_source_6_raw : String := "U_{\\rm Sch}" -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "P_VS", "formula": 6, "location": "ES_46_RV6.md:557:P_VS:formula-6", "source": "U_{\\rm Sch}", "status": "FORMALIZED_TERM", "type": "Set[Real]", "role": "PROOF_STEP"} def Node_P_VS_source_6_term (ctx : FormalContext) : Set (ℝ) := (ctx.U_Sch) def Node_P_VS_source_steps (ctx : FormalContext) : Prop := (Node_P_VS_source_2 ctx) ∧ (Node_P_VS_source_3 ctx) ∧ (Node_P_VS_source_5 ctx) -- DEMUESTRA_DEDUCTIVE_LINK: P_VS|2|PROOF_STEP|-|P_VED_R_C,P_VED_Completo,A_7|NO_CERTIFICADO -- DEMUESTRA_DEDUCTIVE_LINK: P_VS|3|PROOF_STEP|2|P_VED_R_C,P_VED_Completo,A_7|NO_CERTIFICADO theorem derive_P_VS (ctx : FormalContext) (h_P_VED_R_C : (((0 ≤ ctx.rho) ∧ (ctx.rho ≤ ((1 : ℝ) / (2 : ℝ)))))) (h_P_VED_Completo : ((ctx.U_VED_cerrado = (ctx.mathcal_E_VED ∪ ctx.mathcal_I_VED)))) (h_A_7 : ((ctx.tilde_N = (ctx.R_VED * ctx.R_Sch)) ∧ (ctx.R_Sch = (ctx.tilde_N / ctx.R_VED)) ∧ (ctx.R_VED = (ctx.tilde_N / ctx.R_Sch)) ∧ ((ctx.Phi_tilde_N_fn_1 ctx.R_VED = ctx.tilde_N / ctx.R_VED)) ∧ (Nonempty (↥(ctx.U_VED) ≃ₜ ↥(ctx.U_Sch))))) : ((Nonempty (↥(ctx.U_VED) ≃ₜ ↥(ctx.U_Sch)))) := by rcases h_A_7 with ⟨h_A_7_1, h_A_7_2, h_A_7_3, h_A_7_4, h_A_7_5⟩ first | assumption | (symm; assumption) | linarith | ring | aesop -- DEMUESTRA_ASSERTION: P_VS|COMPLETA|TEOREMA_EMITIDO -- FORMAL_NODE: P_VED_Completo_2 -- SOURCE: ES_46_RV6.md:874 -- FORMULA: \quad (k,\rho) \text{ contempla exhaustivamente todos los cierres finitos.} def Node_P_VED_Completo_2_source_1_raw : String := "\\quad (k,\\rho) \\text{ contempla exhaustivamente todos los cierres finitos.}" -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "P_VED_Completo_2", "formula": 1, "location": "ES_46_RV6.md:874:P_VED_Completo_2:formula-1", "source": "\\quad (k,\\rho) \\text{ contempla exhaustivamente todos los cierres finitos.}", "status": "FORMALIZED_PROP", "type": "Prop", "role": "PROOF_STEP"} def Node_P_VED_Completo_2_source_1 (ctx : FormalContext) : Prop := (ctx.Assertion_contempla_exhaustivamente_todos_los_cierres_finitos ((ctx.k, ctx.rho))) def Node_P_VED_Completo_2_source_steps (ctx : FormalContext) : Prop := (Node_P_VED_Completo_2_source_1 ctx) def Node_P_VED_Completo_2_unformalized_source : String := "\\quad (k,\\rho) \\text{ contempla exhaustivamente todos los cierres finitos.} $$ $$" -- DEMUESTRA_UNDECIDABLE_NODE: P_VED_Completo_2|PROSE_WITHOUT_FORMULA -- DEMUESTRA_ASSERTION: P_VED_Completo_2|DOCUMENTAL|NO_APLICA -- FORMAL_NODE: P_F -- SOURCE: ES_46_RV6.md:601 -- FORMULA: \qquad F = (dt^2-dt'^2) + \frac{d}{dt}(dt^2-dt'^2). } -- FORMULA: dt' -- FORMULA: t def Node_P_F_source_1_raw : String := "\\qquad F = (dt^2-dt'^2) + \\frac{d}{dt}(dt^2-dt'^2). }" -- DEMUESTRA_SOURCE_CLAIM: {"node": "P_F", "formula": 1, "location": "ES_46_RV6.md:601:P_F:formula-1", "source": "\\qquad F = (dt^2-dt'^2) + \\frac{d}{dt}(dt^2-dt'^2). }", "status": "FORMALIZED_UNPROVEN", "type": "Prop", "role": "CLAIM"} def Node_P_F_source_1 (ctx : FormalContext) : Prop := (ctx.F = ((ctx.dt ^ 2 - ctx.dt_prime ^ 2) + (((2 : ℝ) * ctx.dt) * (1 : ℝ)) - (((2 : ℝ) * ctx.dt_prime) * ctx.Derivative_t (ctx.t_prime)))) def Node_P_F_source_2_raw : String := "dt'" -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "P_F", "formula": 2, "location": "ES_46_RV6.md:601:P_F:formula-2", "source": "dt'", "status": "FORMALIZED_TERM", "type": "Real", "role": "PROOF_STEP"} def Node_P_F_source_2_term (ctx : FormalContext) : ℝ := (ctx.dt_prime) def Node_P_F_source_3_raw : String := "t" -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "P_F", "formula": 3, "location": "ES_46_RV6.md:601:P_F:formula-3", "source": "t", "status": "FORMALIZED_TERM", "type": "Real", "role": "PROOF_STEP"} def Node_P_F_source_3_term (ctx : FormalContext) : ℝ := (ctx.t) theorem derive_P_F (ctx : FormalContext) (h_A_7 : ((ctx.tilde_N = (ctx.R_VED * ctx.R_Sch)) ∧ (ctx.R_Sch = (ctx.tilde_N / ctx.R_VED)) ∧ (ctx.R_VED = (ctx.tilde_N / ctx.R_Sch)) ∧ ((ctx.Phi_tilde_N_fn_1 ctx.R_VED = ctx.tilde_N / ctx.R_VED)) ∧ (Nonempty (↥(ctx.U_VED) ≃ₜ ↥(ctx.U_Sch))))) (h_P_VS : ((Nonempty (↥(ctx.U_VED) ≃ₜ ↥(ctx.U_Sch))))) (h_P_ST_2 : ((ctx.ds ^ 2 = (ctx.dt ^ 2 - ctx.dt_prime ^ 2)))) (h_A_L : ((ctx.dt_prime = (ctx.dt * (ctx.sqrt ((1 : ℝ) - (ctx.v ^ 2 / ctx.c ^ 2))))) ∧ (ctx.v = ctx.Derivative_t (ctx.DerivativeSubject_s)) ∧ (ctx.c = 1) ∧ (ctx.dt_prime ^ 2 = (ctx.dt ^ 2 - ctx.ds ^ 2)))) : ((ctx.F = ((ctx.dt ^ 2 - ctx.dt_prime ^ 2) + (((2 : ℝ) * ctx.dt) * (1 : ℝ)) - (((2 : ℝ) * ctx.dt_prime) * ctx.Derivative_t (ctx.t_prime))))) := by rcases h_A_7 with ⟨h_A_7_1, h_A_7_2, h_A_7_3, h_A_7_4, h_A_7_5⟩ rcases h_A_L with ⟨h_A_L_1, h_A_L_2, h_A_L_3, h_A_L_4⟩ first | assumption | (symm; assumption) | linarith | ring | aesop -- DEMUESTRA_ASSERTION: P_F|COMPLETA|TEOREMA_EMITIDO -- FORMAL_NODE: P_F1 -- SOURCE: ES_46_RV6.md:617 -- FORMULA: \qquad F = dt^2-dt'^2 + 2dt - 2dt'\frac{dt'}{dt}. } -- FORMULA: dt' -- FORMULA: dt'/dt def Node_P_F1_source_1_raw : String := "\\qquad F = dt^2-dt'^2 + 2dt - 2dt'\\frac{dt'}{dt}. }" -- DEMUESTRA_SOURCE_CLAIM: {"node": "P_F1", "formula": 1, "location": "ES_46_RV6.md:617:P_F1:formula-1", "source": "\\qquad F = dt^2-dt'^2 + 2dt - 2dt'\\frac{dt'}{dt}. }", "status": "FORMALIZED_UNPROVEN", "type": "Prop", "role": "CLAIM"} def Node_P_F1_source_1 (ctx : FormalContext) : Prop := (ctx.F = (((ctx.dt ^ 2 - ctx.dt_prime ^ 2) + ((2 : ℝ) * ctx.dt)) - (((2 : ℝ) * ctx.dt_prime) * ctx.Derivative_t (ctx.t_prime)))) def Node_P_F1_source_2_raw : String := "dt'" -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "P_F1", "formula": 2, "location": "ES_46_RV6.md:617:P_F1:formula-2", "source": "dt'", "status": "FORMALIZED_TERM", "type": "Real", "role": "PROOF_STEP"} def Node_P_F1_source_2_term (ctx : FormalContext) : ℝ := (ctx.dt_prime) def Node_P_F1_source_3_raw : String := "dt'/dt" -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "P_F1", "formula": 3, "location": "ES_46_RV6.md:617:P_F1:formula-3", "source": "dt'/dt", "status": "FORMALIZED_TERM", "type": "Real", "role": "PROOF_STEP"} def Node_P_F1_source_3_term (ctx : FormalContext) : ℝ := (ctx.dt_prime / ctx.dt) theorem derive_P_F1 (ctx : FormalContext) (h_P_VS : ((Nonempty (↥(ctx.U_VED) ≃ₜ ↥(ctx.U_Sch))))) (h_P_ST_2 : ((ctx.ds ^ 2 = (ctx.dt ^ 2 - ctx.dt_prime ^ 2)))) (h_P_F : ((ctx.F = ((ctx.dt ^ 2 - ctx.dt_prime ^ 2) + (((2 : ℝ) * ctx.dt) * (1 : ℝ)) - (((2 : ℝ) * ctx.dt_prime) * ctx.Derivative_t (ctx.t_prime)))))) (h_A_L : ((ctx.dt_prime = (ctx.dt * (ctx.sqrt ((1 : ℝ) - (ctx.v ^ 2 / ctx.c ^ 2))))) ∧ (ctx.v = ctx.Derivative_t (ctx.DerivativeSubject_s)) ∧ (ctx.c = 1) ∧ (ctx.dt_prime ^ 2 = (ctx.dt ^ 2 - ctx.ds ^ 2)))) : ((ctx.F = (((ctx.dt ^ 2 - ctx.dt_prime ^ 2) + ((2 : ℝ) * ctx.dt)) - (((2 : ℝ) * ctx.dt_prime) * ctx.Derivative_t (ctx.t_prime))))) := by rcases h_A_L with ⟨h_A_L_1, h_A_L_2, h_A_L_3, h_A_L_4⟩ first | assumption | (symm; assumption) | linarith | ring | aesop -- DEMUESTRA_ASSERTION: P_F1|COMPLETA|TEOREMA_EMITIDO -- FORMAL_NODE: P_W -- SOURCE: ES_46_RV6.md:639 -- FORMULA: \qquad v_{\rm onda}=c. } -- FORMULA: c=1. -- FORMULA: v=\frac{ds}{dt}, -- FORMULA: \frac{ds}{dt}=1. -- FORMULA: ds=dt, -- FORMULA: dt' = dt \sqrt{ 1-\frac{v^2}{c^2} }. -- FORMULA: v\to c, -- FORMULA: \boxed{ dt'\to0. } -- FORMULA: dt'^2\to0, -- FORMULA: \frac{dt'}{dt}\to0. def Node_P_W_source_1_raw : String := "\\qquad v_{\\rm onda}=c. }" -- DEMUESTRA_SOURCE_CLAIM: {"node": "P_W", "formula": 1, "location": "ES_46_RV6.md:639:P_W:formula-1", "source": "\\qquad v_{\\rm onda}=c. }", "status": "FORMALIZED_UNPROVEN", "type": "Prop", "role": "CLAIM"} def Node_P_W_source_1 (ctx : FormalContext) : Prop := (ctx.v_onda = ctx.c) def Node_P_W_source_2_raw : String := "c=1." -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "P_W", "formula": 2, "location": "ES_46_RV6.md:639:P_W:formula-2", "source": "c=1.", "status": "FORMALIZED_PROP", "type": "Prop", "role": "PROOF_STEP"} def Node_P_W_source_2 (ctx : FormalContext) : Prop := (ctx.c = 1) def Node_P_W_source_3_raw : String := "v=\\frac{ds}{dt}," -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "P_W", "formula": 3, "location": "ES_46_RV6.md:639:P_W:formula-3", "source": "v=\\frac{ds}{dt},", "status": "FORMALIZED_PROP", "type": "Prop", "role": "PROOF_STEP"} def Node_P_W_source_3 (ctx : FormalContext) : Prop := (ctx.v = ctx.Derivative_t (ctx.DerivativeSubject_s)) def Node_P_W_source_4_raw : String := "\\frac{ds}{dt}=1." -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "P_W", "formula": 4, "location": "ES_46_RV6.md:639:P_W:formula-4", "source": "\\frac{ds}{dt}=1.", "status": "FORMALIZED_PROP", "type": "Prop", "role": "PROOF_STEP"} def Node_P_W_source_4 (ctx : FormalContext) : Prop := (ctx.Derivative_t (ctx.DerivativeSubject_s) = 1) def Node_P_W_source_5_raw : String := "ds=dt," -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "P_W", "formula": 5, "location": "ES_46_RV6.md:639:P_W:formula-5", "source": "ds=dt,", "status": "FORMALIZED_PROP", "type": "Prop", "role": "PROOF_STEP"} def Node_P_W_source_5 (ctx : FormalContext) : Prop := (ctx.ds = ctx.dt) def Node_P_W_source_6_raw : String := "dt' = dt \\sqrt{ 1-\\frac{v^2}{c^2} }." -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "P_W", "formula": 6, "location": "ES_46_RV6.md:639:P_W:formula-6", "source": "dt' = dt \\sqrt{ 1-\\frac{v^2}{c^2} }.", "status": "FORMALIZED_PROP", "type": "Prop", "role": "PROOF_STEP"} def Node_P_W_source_6 (ctx : FormalContext) : Prop := (ctx.dt_prime = (ctx.dt * (ctx.sqrt ((1 : ℝ) - (ctx.v ^ 2 / ctx.c ^ 2))))) def Node_P_W_source_7_raw : String := "v\\to c," -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "P_W", "formula": 7, "location": "ES_46_RV6.md:639:P_W:formula-7", "source": "v\\to c,", "status": "FORMALIZED_PROP", "type": "Prop", "role": "PROOF_STEP"} def Node_P_W_source_7 (ctx : FormalContext) : Prop := (ctx.TendsTo (ctx.v) (ctx.c)) def Node_P_W_source_8_raw : String := "\\boxed{ dt'\\to0. }" -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "P_W", "formula": 8, "location": "ES_46_RV6.md:639:P_W:formula-8", "source": "\\boxed{ dt'\\to0. }", "status": "FORMALIZED_PROP", "type": "Prop", "role": "PROOF_STEP"} def Node_P_W_source_8 (ctx : FormalContext) : Prop := (ctx.TendsTo (ctx.dt_prime) (0)) def Node_P_W_source_9_raw : String := "dt'^2\\to0," -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "P_W", "formula": 9, "location": "ES_46_RV6.md:639:P_W:formula-9", "source": "dt'^2\\to0,", "status": "FORMALIZED_PROP", "type": "Prop", "role": "PROOF_STEP"} def Node_P_W_source_9 (ctx : FormalContext) : Prop := (ctx.TendsTo (ctx.dt_prime ^ 2) (0)) def Node_P_W_source_10_raw : String := "\\frac{dt'}{dt}\\to0." -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "P_W", "formula": 10, "location": "ES_46_RV6.md:639:P_W:formula-10", "source": "\\frac{dt'}{dt}\\to0.", "status": "FORMALIZED_PROP", "type": "Prop", "role": "PROOF_STEP"} def Node_P_W_source_10 (ctx : FormalContext) : Prop := (ctx.TendsTo (ctx.Derivative_t (ctx.t_prime)) (0)) def Node_P_W_source_steps (ctx : FormalContext) : Prop := (Node_P_W_source_2 ctx) ∧ (Node_P_W_source_3 ctx) ∧ (Node_P_W_source_4 ctx) ∧ (Node_P_W_source_5 ctx) ∧ (Node_P_W_source_6 ctx) ∧ (Node_P_W_source_7 ctx) ∧ (Node_P_W_source_8 ctx) ∧ (Node_P_W_source_9 ctx) ∧ (Node_P_W_source_10 ctx) -- DEMUESTRA_DEDUCTIVE_LINK: P_W|2|PROOF_STEP|-|P_ST_2,P_F,P_F1|NO_CERTIFICADO -- DEMUESTRA_DEDUCTIVE_LINK: P_W|3|PROOF_STEP|2|P_ST_2,P_F,P_F1|NO_CERTIFICADO -- DEMUESTRA_DEDUCTIVE_LINK: P_W|4|PROOF_STEP|3|P_ST_2,P_F,P_F1|NO_CERTIFICADO -- DEMUESTRA_DEDUCTIVE_LINK: P_W|5|PROOF_STEP|4|P_ST_2,P_F,P_F1|NO_CERTIFICADO -- DEMUESTRA_DEDUCTIVE_LINK: P_W|6|PROOF_STEP|5|P_ST_2,P_F,P_F1|NO_CERTIFICADO -- DEMUESTRA_DEDUCTIVE_LINK: P_W|7|PROOF_STEP|6|P_ST_2,P_F,P_F1|NO_CERTIFICADO -- DEMUESTRA_DEDUCTIVE_LINK: P_W|8|PROOF_STEP|7|P_ST_2,P_F,P_F1|NO_CERTIFICADO -- DEMUESTRA_DEDUCTIVE_LINK: P_W|9|PROOF_STEP|8|P_ST_2,P_F,P_F1|NO_CERTIFICADO -- DEMUESTRA_DEDUCTIVE_LINK: P_W|10|PROOF_STEP|9|P_ST_2,P_F,P_F1|NO_CERTIFICADO theorem derive_P_W (ctx : FormalContext) (h_P_ST_2 : ((ctx.ds ^ 2 = (ctx.dt ^ 2 - ctx.dt_prime ^ 2)))) (h_P_F : ((ctx.F = ((ctx.dt ^ 2 - ctx.dt_prime ^ 2) + (((2 : ℝ) * ctx.dt) * (1 : ℝ)) - (((2 : ℝ) * ctx.dt_prime) * ctx.Derivative_t (ctx.t_prime)))))) (h_P_F1 : ((ctx.F = (((ctx.dt ^ 2 - ctx.dt_prime ^ 2) + ((2 : ℝ) * ctx.dt)) - (((2 : ℝ) * ctx.dt_prime) * ctx.Derivative_t (ctx.t_prime)))))) (h_A_L : ((ctx.dt_prime = (ctx.dt * (ctx.sqrt ((1 : ℝ) - (ctx.v ^ 2 / ctx.c ^ 2))))) ∧ (ctx.v = ctx.Derivative_t (ctx.DerivativeSubject_s)) ∧ (ctx.c = 1) ∧ (ctx.dt_prime ^ 2 = (ctx.dt ^ 2 - ctx.ds ^ 2)))) : ((ctx.v_onda = ctx.c)) := by rcases h_A_L with ⟨h_A_L_1, h_A_L_2, h_A_L_3, h_A_L_4⟩ first | assumption | (symm; assumption) | linarith | ring | aesop -- DEMUESTRA_ASSERTION: P_W|COMPLETA|TEOREMA_EMITIDO -- FORMAL_NODE: P_F1_2 -- SOURCE: ES_46_RV6.md:708 def Node_P_F1_2_unformalized_source : String := "$$ \\boxed{" -- DEMUESTRA_UNDECIDABLE_NODE: P_F1_2|PROSE_WITHOUT_FORMULA -- DEMUESTRA_ASSERTION: P_F1_2|DOCUMENTAL|NO_APLICA -- FORMAL_NODE: P_F2 -- SOURCE: ES_46_RV6.md:712 -- FORMULA: \qquad F=dt^2+2dt. } -- FORMULA: dt^2+2dt = 2dt \left( 1+\frac12dt \right), def Node_P_F2_source_1_raw : String := "\\qquad F=dt^2+2dt. }" -- DEMUESTRA_SOURCE_CLAIM: {"node": "P_F2", "formula": 1, "location": "ES_46_RV6.md:712:P_F2:formula-1", "source": "\\qquad F=dt^2+2dt. }", "status": "FORMALIZED_UNPROVEN", "type": "Prop", "role": "CLAIM"} def Node_P_F2_source_1 (ctx : FormalContext) : Prop := (ctx.F = (ctx.dt ^ 2 + ((2 : ℝ) * ctx.dt))) def Node_P_F2_source_2_raw : String := "dt^2+2dt = 2dt \\left( 1+\\frac12dt \\right)," -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "P_F2", "formula": 2, "location": "ES_46_RV6.md:712:P_F2:formula-2", "source": "dt^2+2dt = 2dt \\left( 1+\\frac12dt \\right),", "status": "FORMALIZED_PROP", "type": "Prop", "role": "PROOF_STEP"} def Node_P_F2_source_2 (ctx : FormalContext) : Prop := ((ctx.dt ^ 2 + ((2 : ℝ) * ctx.dt)) = (((2 : ℝ) * ctx.dt) * ((1 : ℝ) + (((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) * ctx.dt)))) def Node_P_F2_source_steps (ctx : FormalContext) : Prop := (Node_P_F2_source_2 ctx) -- DEMUESTRA_DEDUCTIVE_LINK: P_F2|2|PROOF_STEP|-|P_F1,P_W,P_F1_2|NO_CERTIFICADO theorem derive_P_F2 (ctx : FormalContext) (h_P_F1 : ((ctx.F = (((ctx.dt ^ 2 - ctx.dt_prime ^ 2) + ((2 : ℝ) * ctx.dt)) - (((2 : ℝ) * ctx.dt_prime) * ctx.Derivative_t (ctx.t_prime)))))) (h_P_W : ((ctx.v_onda = ctx.c))) : ((ctx.F = (ctx.dt ^ 2 + ((2 : ℝ) * ctx.dt)))) := by first | assumption | (symm; assumption) | linarith | ring | aesop -- DEMUESTRA_ASSERTION: P_F2|COMPLETA|TEOREMA_EMITIDO -- FORMAL_NODE: P_F3 -- SOURCE: ES_46_RV6.md:733 -- FORMULA: \qquad F = 2dt \left( 1+\frac12dt \right). } -- FORMULA: \boxed{ \frac12 } -- FORMULA: F def Node_P_F3_source_1_raw : String := "\\qquad F = 2dt \\left( 1+\\frac12dt \\right). }" -- DEMUESTRA_SOURCE_CLAIM: {"node": "P_F3", "formula": 1, "location": "ES_46_RV6.md:733:P_F3:formula-1", "source": "\\qquad F = 2dt \\left( 1+\\frac12dt \\right). }", "status": "FORMALIZED_UNPROVEN", "type": "Prop", "role": "CLAIM"} def Node_P_F3_source_1 (ctx : FormalContext) : Prop := (ctx.F = (((2 : ℝ) * ctx.dt) * ((1 : ℝ) + (((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) * ctx.dt)))) def Node_P_F3_source_2_raw : String := "\\boxed{ \\frac12 }" -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "P_F3", "formula": 2, "location": "ES_46_RV6.md:733:P_F3:formula-2", "source": "\\boxed{ \\frac12 }", "status": "FORMALIZED_TERM", "type": "Real", "role": "PROOF_STEP"} def Node_P_F3_source_2_term (ctx : FormalContext) : ℝ := ((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) def Node_P_F3_source_3_raw : String := "F" -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "P_F3", "formula": 3, "location": "ES_46_RV6.md:733:P_F3:formula-3", "source": "F", "status": "FORMALIZED_TERM", "type": "Real", "role": "PROOF_STEP"} def Node_P_F3_source_3_term (ctx : FormalContext) : ℝ := (ctx.F) theorem derive_P_F3 (ctx : FormalContext) (h_P_W : ((ctx.v_onda = ctx.c))) (h_P_F2 : ((ctx.F = (ctx.dt ^ 2 + ((2 : ℝ) * ctx.dt))))) : ((ctx.F = (((2 : ℝ) * ctx.dt) * ((1 : ℝ) + (((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) * ctx.dt))))) := by first | assumption | (symm; assumption) | linarith | ring | aesop -- DEMUESTRA_ASSERTION: P_F3|COMPLETA|TEOREMA_EMITIDO -- FORMAL_NODE: D_Lap -- SOURCE: ES_46_RV6.md:764 -- FORMULA: \boxed{ s_\pm = a\pm ib. } -- FORMULA: \boxed{ a=\frac12 } -- FORMULA: T(k,\rho) = (k\pm\rho)\lambda -- FORMULA: e^{\pm ibT}=1. -- FORMULA: bT=2\pi. -- FORMULA: \boxed{ b(k,\rho) = \frac{2\pi} {(k\pm\rho)\lambda}. } -- FORMULA: \rho=0, -- FORMULA: \boxed{ b_k = \frac{2\pi}{k\lambda}. } -- FORMULA: \boxed{ Z_{\rm VED\to Lap} = \left\{ \frac12 \pm i\frac{2\pi}{k\lambda} : k\in\mathbb N^+ \right\}. } -- FORMULA: P_{F3} -- FORMULA: c=1 def Node_D_Lap_source_1_raw : String := "\\boxed{ s_\\pm = a\\pm ib. }" -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "D_Lap", "formula": 1, "location": "ES_46_RV6.md:764:D_Lap:formula-1", "source": "\\boxed{ s_\\pm = a\\pm ib. }", "status": "FORMALIZED_PROP", "type": "Prop", "role": "DECLARATION"} def Node_D_Lap_source_1 (ctx : FormalContext) : Prop := (((ctx.s_PM) = ((ctx.a + ctx.ib)) ∨ (ctx.s_PM) = ((ctx.a - ctx.ib)))) def Node_D_Lap_source_2_raw : String := "\\boxed{ a=\\frac12 }" -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "D_Lap", "formula": 2, "location": "ES_46_RV6.md:764:D_Lap:formula-2", "source": "\\boxed{ a=\\frac12 }", "status": "FORMALIZED_PROP", "type": "Prop", "role": "DECLARATION"} def Node_D_Lap_source_2 (ctx : FormalContext) : Prop := (ctx.a = ((1 : ℝ) / (2 : ℝ))) def Node_D_Lap_source_3_raw : String := "T(k,\\rho) = (k\\pm\\rho)\\lambda" -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "D_Lap", "formula": 3, "location": "ES_46_RV6.md:764:D_Lap:formula-3", "source": "T(k,\\rho) = (k\\pm\\rho)\\lambda", "status": "FORMALIZED_PROP", "type": "Prop", "role": "DECLARATION"} def Node_D_Lap_source_3 (ctx : FormalContext) : Prop := (((ctx.T_fn_2 ctx.k ctx.rho) = ((((ctx.k : ℝ) + ctx.rho) * ctx.lambda)) ∨ (ctx.T_fn_2 ctx.k ctx.rho) = ((((ctx.k : ℝ) - ctx.rho) * ctx.lambda)))) def Node_D_Lap_source_4_raw : String := "e^{\\pm ibT}=1." -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "D_Lap", "formula": 4, "location": "ES_46_RV6.md:764:D_Lap:formula-4", "source": "e^{\\pm ibT}=1.", "status": "FORMALIZED_PROP", "type": "Prop", "role": "DECLARATION"} def Node_D_Lap_source_4 (ctx : FormalContext) : Prop := (((ctx.Pow_Real (ctx.e) (ctx.ibT)) = (1) ∨ (ctx.Pow_Real (ctx.e) (-ctx.ibT)) = (1))) def Node_D_Lap_source_5_raw : String := "bT=2\\pi." -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "D_Lap", "formula": 5, "location": "ES_46_RV6.md:764:D_Lap:formula-5", "source": "bT=2\\pi.", "status": "FORMALIZED_PROP", "type": "Prop", "role": "DECLARATION"} def Node_D_Lap_source_5 (ctx : FormalContext) : Prop := (ctx.bT = ((2 : ℝ) * Real.pi)) def Node_D_Lap_source_6_raw : String := "\\boxed{ b(k,\\rho) = \\frac{2\\pi} {(k\\pm\\rho)\\lambda}. }" -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "D_Lap", "formula": 6, "location": "ES_46_RV6.md:764:D_Lap:formula-6", "source": "\\boxed{ b(k,\\rho) = \\frac{2\\pi} {(k\\pm\\rho)\\lambda}. }", "status": "FORMALIZED_PROP", "type": "Prop", "role": "DECLARATION"} def Node_D_Lap_source_6 (ctx : FormalContext) : Prop := (((ctx.b_fn_2 ctx.k ctx.rho) = ((((2 : ℝ) * Real.pi) / (((ctx.k : ℝ) + ctx.rho) * ctx.lambda))) ∨ (ctx.b_fn_2 ctx.k ctx.rho) = ((((2 : ℝ) * Real.pi) / (((ctx.k : ℝ) - ctx.rho) * ctx.lambda))))) def Node_D_Lap_source_7_raw : String := "\\rho=0," -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "D_Lap", "formula": 7, "location": "ES_46_RV6.md:764:D_Lap:formula-7", "source": "\\rho=0,", "status": "FORMALIZED_PROP", "type": "Prop", "role": "DECLARATION"} def Node_D_Lap_source_7 (ctx : FormalContext) : Prop := (ctx.rho = 0) def Node_D_Lap_source_8_raw : String := "\\boxed{ b_k = \\frac{2\\pi}{k\\lambda}. }" -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "D_Lap", "formula": 8, "location": "ES_46_RV6.md:764:D_Lap:formula-8", "source": "\\boxed{ b_k = \\frac{2\\pi}{k\\lambda}. }", "status": "FORMALIZED_PROP", "type": "Prop", "role": "DECLARATION"} def Node_D_Lap_source_8 (ctx : FormalContext) : Prop := (ctx.b_k = (((2 : ℝ) * Real.pi) / ((ctx.k : ℝ) * ctx.lambda))) def Node_D_Lap_source_9_raw : String := "\\boxed{ Z_{\\rm VED\\to Lap} = \\left\\{ \\frac12 \\pm i\\frac{2\\pi}{k\\lambda} : k\\in\\mathbb N^+ \\right\\}. }" -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "D_Lap", "formula": 9, "location": "ES_46_RV6.md:764:D_Lap:formula-9", "source": "\\boxed{ Z_{\\rm VED\\to Lap} = \\left\\{ \\frac12 \\pm i\\frac{2\\pi}{k\\lambda} : k\\in\\mathbb N^+ \\right\\}. }", "status": "FORMALIZED_PROP", "type": "Prop", "role": "DECLARATION"} def Node_D_Lap_source_9 (ctx : FormalContext) : Prop := (ctx.Z_VED_to_Lap = ({x | ∃ k : ℕ, (k ∈ {x : ℕ | 0 < x}) ∧ (x = (((((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) : ℂ) + (ctx.i * ((((2 : ℝ) * Real.pi) / ((k : ℝ) * ctx.lambda)) : ℂ)))) ∨ x = (((((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) : ℂ) - (ctx.i * ((((2 : ℝ) * Real.pi) / ((k : ℝ) * ctx.lambda)) : ℂ)))))})) def Node_D_Lap_source_10_raw : String := "P_{F3}" -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "D_Lap", "formula": 10, "location": "ES_46_RV6.md:764:D_Lap:formula-10", "source": "P_{F3}", "status": "FORMALIZED_TERM", "type": "Real", "role": "STATEMENT"} def Node_D_Lap_source_10_term (ctx : FormalContext) : ℝ := (ctx.P_F3) def Node_D_Lap_source_11_raw : String := "c=1" -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "D_Lap", "formula": 11, "location": "ES_46_RV6.md:764:D_Lap:formula-11", "source": "c=1", "status": "FORMALIZED_PROP", "type": "Prop", "role": "STATEMENT"} def Node_D_Lap_source_11 (ctx : FormalContext) : Prop := (ctx.c = 1) def Node_D_Lap_source_declarations (ctx : FormalContext) : Prop := (Node_D_Lap_source_1 ctx) ∧ (Node_D_Lap_source_2 ctx) ∧ (Node_D_Lap_source_3 ctx) ∧ (Node_D_Lap_source_4 ctx) ∧ (Node_D_Lap_source_5 ctx) ∧ (Node_D_Lap_source_6 ctx) ∧ (Node_D_Lap_source_7 ctx) ∧ (Node_D_Lap_source_8 ctx) ∧ (Node_D_Lap_source_9 ctx) def Node_D_Lap_source_steps (ctx : FormalContext) : Prop := (Node_D_Lap_source_11 ctx) def Node_D_Lap_clause_1 (ctx : FormalContext) : Prop := (((ctx.s_PM) = ((ctx.a + ctx.ib)) ∨ (ctx.s_PM) = ((ctx.a - ctx.ib)))) def Node_D_Lap_clause_2 (ctx : FormalContext) : Prop := (ctx.a = ((1 : ℝ) / (2 : ℝ))) def Node_D_Lap_clause_3 (ctx : FormalContext) : Prop := (((ctx.T_fn_2 ctx.k ctx.rho) = ((((ctx.k : ℝ) + ctx.rho) * ctx.lambda)) ∨ (ctx.T_fn_2 ctx.k ctx.rho) = ((((ctx.k : ℝ) - ctx.rho) * ctx.lambda)))) def Node_D_Lap_clause_4 (ctx : FormalContext) : Prop := (((ctx.Pow_Real (ctx.e) (ctx.ibT)) = (1) ∨ (ctx.Pow_Real (ctx.e) (-ctx.ibT)) = (1))) def Node_D_Lap_clause_5 (ctx : FormalContext) : Prop := (ctx.bT = ((2 : ℝ) * Real.pi)) def Node_D_Lap_clause_6 (ctx : FormalContext) : Prop := (((ctx.b_fn_2 ctx.k ctx.rho) = ((((2 : ℝ) * Real.pi) / (((ctx.k : ℝ) + ctx.rho) * ctx.lambda))) ∨ (ctx.b_fn_2 ctx.k ctx.rho) = ((((2 : ℝ) * Real.pi) / (((ctx.k : ℝ) - ctx.rho) * ctx.lambda))))) def Node_D_Lap_clause_7 (ctx : FormalContext) : Prop := (ctx.rho = 0) def Node_D_Lap_clause_8 (ctx : FormalContext) : Prop := (ctx.b_k = (((2 : ℝ) * Real.pi) / ((ctx.k : ℝ) * ctx.lambda))) def Node_D_Lap_clause_9 (ctx : FormalContext) : Prop := (ctx.Z_VED_to_Lap = ({x | ∃ k : ℕ, (k ∈ {x : ℕ | 0 < x}) ∧ (x = (((((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) : ℂ) + (ctx.i * ((((2 : ℝ) * Real.pi) / ((k : ℝ) * ctx.lambda)) : ℂ)))) ∨ x = (((((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) : ℂ) - (ctx.i * ((((2 : ℝ) * Real.pi) / ((k : ℝ) * ctx.lambda)) : ℂ)))))})) def Node_D_Lap (ctx : FormalContext) : Prop := (((ctx.s_PM) = ((ctx.a + ctx.ib)) ∨ (ctx.s_PM) = ((ctx.a - ctx.ib)))) ∧ (ctx.a = ((1 : ℝ) / (2 : ℝ))) ∧ (((ctx.T_fn_2 ctx.k ctx.rho) = ((((ctx.k : ℝ) + ctx.rho) * ctx.lambda)) ∨ (ctx.T_fn_2 ctx.k ctx.rho) = ((((ctx.k : ℝ) - ctx.rho) * ctx.lambda)))) ∧ (((ctx.Pow_Real (ctx.e) (ctx.ibT)) = (1) ∨ (ctx.Pow_Real (ctx.e) (-ctx.ibT)) = (1))) ∧ (ctx.bT = ((2 : ℝ) * Real.pi)) ∧ (((ctx.b_fn_2 ctx.k ctx.rho) = ((((2 : ℝ) * Real.pi) / (((ctx.k : ℝ) + ctx.rho) * ctx.lambda))) ∨ (ctx.b_fn_2 ctx.k ctx.rho) = ((((2 : ℝ) * Real.pi) / (((ctx.k : ℝ) - ctx.rho) * ctx.lambda))))) ∧ (ctx.rho = 0) ∧ (ctx.b_k = (((2 : ℝ) * Real.pi) / ((ctx.k : ℝ) * ctx.lambda))) ∧ (ctx.Z_VED_to_Lap = ({x | ∃ k : ℕ, (k ∈ {x : ℕ | 0 < x}) ∧ (x = (((((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) : ℂ) + (ctx.i * ((((2 : ℝ) * Real.pi) / ((k : ℝ) * ctx.lambda)) : ℂ)))) ∨ x = (((((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) : ℂ) - (ctx.i * ((((2 : ℝ) * Real.pi) / ((k : ℝ) * ctx.lambda)) : ℂ)))))})) -- DEMUESTRA_ASSERTION: D_Lap|COMPLETA|NO_APLICA -- FORMAL_NODE: P_F3_2 -- SOURCE: ES_46_RV6.md:888 -- FORMULA: \quad F = 2dt \left( 1+\frac12dt \right). def Node_P_F3_2_source_1_raw : String := "\\quad F = 2dt \\left( 1+\\frac12dt \\right)." -- DEMUESTRA_SOURCE_CLAIM: {"node": "P_F3_2", "formula": 1, "location": "ES_46_RV6.md:888:P_F3_2:formula-1", "source": "\\quad F = 2dt \\left( 1+\\frac12dt \\right).", "status": "FORMALIZED_UNPROVEN", "type": "Prop", "role": "CLAIM"} def Node_P_F3_2_source_1 (ctx : FormalContext) : Prop := (ctx.F = (((2 : ℝ) * ctx.dt) * ((1 : ℝ) + (((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) * ctx.dt)))) theorem derive_P_F3_2 (ctx : FormalContext) (h_P_F3 : ((ctx.F = (((2 : ℝ) * ctx.dt) * ((1 : ℝ) + (((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) * ctx.dt)))))) : ((ctx.F = (((2 : ℝ) * ctx.dt) * ((1 : ℝ) + (((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) * ctx.dt))))) := by exact h_P_F3 -- DEMUESTRA_ASSERTION: P_F3_2|COMPLETA|VERIFICADA_ESTRUCTURAL -- FORMAL_NODE: P_Lap_Z -- SOURCE: ES_46_RV6.md:851 -- FORMULA: \Re(s)=\frac12. -- FORMULA: U_{\rm VED} -- FORMULA: k -- FORMULA: k def Node_P_Lap_Z_source_1_raw : String := "\\Re(s)=\\frac12." -- DEMUESTRA_SOURCE_CLAIM: {"node": "P_Lap_Z", "formula": 1, "location": "ES_46_RV6.md:851:P_Lap_Z:formula-1", "source": "\\Re(s)=\\frac12.", "status": "FORMALIZED_UNPROVEN", "type": "Prop", "role": "CLAIM"} def Node_P_Lap_Z_source_1 (ctx : FormalContext) : Prop := (ctx.Z_VED_to_Lap ⊆ ({s | (Complex.re s) = ((1 : ℝ) / (2 : ℝ))})) def Node_P_Lap_Z_source_2_raw : String := "U_{\\rm VED}" -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "P_Lap_Z", "formula": 2, "location": "ES_46_RV6.md:851:P_Lap_Z:formula-2", "source": "U_{\\rm VED}", "status": "FORMALIZED_TERM", "type": "Set[Real]", "role": "PROOF_STEP"} def Node_P_Lap_Z_source_2_term (ctx : FormalContext) : Set (ℝ) := (ctx.U_VED) def Node_P_Lap_Z_source_3_raw : String := "k" -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "P_Lap_Z", "formula": 3, "location": "ES_46_RV6.md:851:P_Lap_Z:formula-3", "source": "k", "status": "FORMALIZED_TERM", "type": "Nat", "role": "PROOF_STEP"} def Node_P_Lap_Z_source_3_term (ctx : FormalContext) : ℕ := (ctx.k) def Node_P_Lap_Z_source_4_raw : String := "k" -- DEMUESTRA_SOURCE_FORMULA: {"node": "P_Lap_Z", "formula": 4, "location": "ES_46_RV6.md:851:P_Lap_Z:formula-4", "source": "k", "status": "FORMALIZED_TERM", "type": "Nat", "role": "PROOF_STEP"} def Node_P_Lap_Z_source_4_term (ctx : FormalContext) : ℕ := (ctx.k) -- DEMUESTRA_DEDUCTIVE_LINK: P_Lap_Z|1|CLAIM|-|P_F2,P_F3,D_Lap|NO_CERTIFICADO theorem derive_P_Lap_Z (ctx : FormalContext) (h_P_F2 : ((ctx.F = (ctx.dt ^ 2 + ((2 : ℝ) * ctx.dt))))) (h_P_F3 : ((ctx.F = (((2 : ℝ) * ctx.dt) * ((1 : ℝ) + (((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) * ctx.dt)))))) (h_D_Lap : ((((ctx.s_PM) = ((ctx.a + ctx.ib)) ∨ (ctx.s_PM) = ((ctx.a - ctx.ib)))) ∧ (ctx.a = ((1 : ℝ) / (2 : ℝ))) ∧ (((ctx.T_fn_2 ctx.k ctx.rho) = ((((ctx.k : ℝ) + ctx.rho) * ctx.lambda)) ∨ (ctx.T_fn_2 ctx.k ctx.rho) = ((((ctx.k : ℝ) - ctx.rho) * ctx.lambda)))) ∧ (((ctx.Pow_Real (ctx.e) (ctx.ibT)) = (1) ∨ (ctx.Pow_Real (ctx.e) (-ctx.ibT)) = (1))) ∧ (ctx.bT = ((2 : ℝ) * Real.pi)) ∧ (((ctx.b_fn_2 ctx.k ctx.rho) = ((((2 : ℝ) * Real.pi) / (((ctx.k : ℝ) + ctx.rho) * ctx.lambda))) ∨ (ctx.b_fn_2 ctx.k ctx.rho) = ((((2 : ℝ) * Real.pi) / (((ctx.k : ℝ) - ctx.rho) * ctx.lambda))))) ∧ (ctx.rho = 0) ∧ (ctx.b_k = 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VED\\to Lap} \\subset \\{s:\\Re(s)=1/2\\}.", "status": "FORMALIZED_UNPROVEN", "type": "Prop", "role": "CLAIM"} def Node_P_Lap_Z_2_source_1 (ctx : FormalContext) : Prop := (ctx.Z_VED_to_Lap ⊆ ({s | (Complex.re s) = ((1 : ℝ) / (2 : ℝ))})) theorem derive_P_Lap_Z_2 (ctx : FormalContext) (h_P_Lap_Z : ((ctx.Z_VED_to_Lap ⊆ ({s | (Complex.re s) = ((1 : ℝ) / (2 : ℝ))})))) (h_D_Lap : ((((ctx.s_PM) = ((ctx.a + ctx.ib)) ∨ (ctx.s_PM) = ((ctx.a - ctx.ib)))) ∧ (ctx.a = ((1 : ℝ) / (2 : ℝ))) ∧ (((ctx.T_fn_2 ctx.k ctx.rho) = ((((ctx.k : ℝ) + ctx.rho) * ctx.lambda)) ∨ (ctx.T_fn_2 ctx.k ctx.rho) = ((((ctx.k : ℝ) - ctx.rho) * ctx.lambda)))) ∧ (((ctx.Pow_Real (ctx.e) (ctx.ibT)) = (1) ∨ (ctx.Pow_Real (ctx.e) (-ctx.ibT)) = (1))) ∧ (ctx.bT = ((2 : ℝ) * Real.pi)) ∧ (((ctx.b_fn_2 ctx.k ctx.rho) = ((((2 : ℝ) * Real.pi) / (((ctx.k : ℝ) + ctx.rho) * ctx.lambda))) ∨ (ctx.b_fn_2 ctx.k ctx.rho) = ((((2 : ℝ) * Real.pi) / (((ctx.k : ℝ) - ctx.rho) * ctx.lambda))))) ∧ (ctx.rho = 0) ∧ (ctx.b_k = (((2 : ℝ) * Real.pi) / ((ctx.k : ℝ) * ctx.lambda))) ∧ (ctx.Z_VED_to_Lap = ({x | ∃ k : ℕ, (k ∈ {x : ℕ | 0 < x}) ∧ (x = (((((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) : ℂ) + (ctx.i * ((((2 : ℝ) * Real.pi) / ((k : ℝ) * ctx.lambda)) : ℂ)))) ∨ x = (((((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) : ℂ) - (ctx.i * ((((2 : ℝ) * Real.pi) / ((k : ℝ) * ctx.lambda)) : ℂ)))))})))) : ((ctx.Z_VED_to_Lap ⊆ ({s | (Complex.re s) = ((1 : ℝ) / (2 : ℝ))}))) := by exact h_P_Lap_Z -- DEMUESTRA_ASSERTION: P_Lap_Z_2|COMPLETA|VERIFICADA_ESTRUCTURAL -- Relaciones deductivas trasladadas del Markdown a codigo Lean. def DeductiveLink_T_ISO_1 (ctx : FormalContext) : Prop := ((ctx.U_VED_rho = ({x | ctx.rho_VED_fn_1 x ∈ Set.Icc 0 ((1 : ℝ) / (2 : ℝ))})) ∧ (ctx.U_Rim_rho = ({z | ctx.rho_R_fn_1 z ∈ Set.Icc 0 ((1 : ℝ) / (2 : ℝ))})) ∧ (((∀ x_map : ℝ, x_map ∈ ctx.U_VED_rho → (ctx.f_fn_1 x_map) ∈ ctx.U_Rim_rho)) ∧ (∀ x_all : ℝ, x_all ∈ ctx.U_VED_rho → ((ctx.rho_R_fn_1 (ctx.f_fn_1 x_all)) = (ctx.rho_VED_fn_1 x_all))))) → (((∀ x_map : ℂ, x_map ∈ ctx.U_Rim_rho → (ctx.f_inv_fn_1 x_map) ∈ ctx.U_VED_rho)) ∧ ((∀ x_all : ℝ, x_all ∈ ctx.U_VED_rho → ((ctx.f_inv_fn_1 (ctx.f_fn_1 x_all)) = x_all)) ∧ (∀ z_all : ℂ, z_all ∈ ctx.U_Rim_rho → ((ctx.f_fn_1 (ctx.f_inv_fn_1 z_all)) = z_all)))) → (Node_T_ISO_source_1 ctx) def DeductiveLink_P_ST_2 (ctx : FormalContext) : Prop := (True) → ((ctx.dt_prime = (ctx.dt * (ctx.sqrt ((1 : ℝ) - (ctx.v ^ 2 / ctx.c ^ 2))))) ∧ (ctx.v = ctx.Derivative_t (ctx.DerivativeSubject_s)) ∧ (ctx.c = 1) ∧ (ctx.dt_prime ^ 2 = (ctx.dt ^ 2 - ctx.ds ^ 2))) → (Node_P_ST_source_2 ctx) def DeductiveLink_P_RHO_ISO_1 (ctx : FormalContext) : Prop := (((∃ h : ↥(ctx.U_VED_rho) ≃ ↥(ctx.U_Rim_rho), (∀ x_iso : ↥(ctx.U_VED_rho), (h x_iso).val = ctx.f_fn_1 x_iso.val) ∧ (∀ z_iso : ↥(ctx.U_Rim_rho), (h.symm z_iso).val = ctx.f_inv_fn_1 z_iso.val) ∧ (∀ x_all : ℝ, x_all ∈ ctx.U_VED_rho → ((ctx.rho_R_fn_1 (ctx.f_fn_1 x_all)) = (ctx.rho_VED_fn_1 x_all))) ∧ (∀ z_all : ℂ, z_all ∈ ctx.U_Rim_rho → ((ctx.rho_VED_fn_1 (ctx.f_inv_fn_1 z_all)) = (ctx.rho_R_fn_1 z_all)))))) → (Node_P_RHO_ISO_source_1 ctx) def DeductiveLink_P_RHO_ISO_2 (ctx : FormalContext) : Prop := (Node_P_RHO_ISO_source_1 ctx) → (((∃ h : ↥(ctx.U_VED_rho) ≃ ↥(ctx.U_Rim_rho), (∀ x_iso : ↥(ctx.U_VED_rho), (h x_iso).val = ctx.f_fn_1 x_iso.val) ∧ (∀ z_iso : ↥(ctx.U_Rim_rho), (h.symm z_iso).val = ctx.f_inv_fn_1 z_iso.val) ∧ (∀ x_all : ℝ, x_all ∈ ctx.U_VED_rho → ((ctx.rho_R_fn_1 (ctx.f_fn_1 x_all)) = (ctx.rho_VED_fn_1 x_all))) ∧ (∀ z_all : ℂ, z_all ∈ ctx.U_Rim_rho → ((ctx.rho_VED_fn_1 (ctx.f_inv_fn_1 z_all)) = (ctx.rho_R_fn_1 z_all)))))) → (Node_P_RHO_ISO_source_2 ctx) def DeductiveLink_P_RHO_ISO_3 (ctx : FormalContext) : Prop := (Node_P_RHO_ISO_source_2 ctx) → (((∃ h : ↥(ctx.U_VED_rho) ≃ ↥(ctx.U_Rim_rho), (∀ x_iso : ↥(ctx.U_VED_rho), (h x_iso).val = ctx.f_fn_1 x_iso.val) ∧ (∀ z_iso : ↥(ctx.U_Rim_rho), (h.symm z_iso).val = ctx.f_inv_fn_1 z_iso.val) ∧ (∀ x_all : ℝ, x_all ∈ ctx.U_VED_rho → ((ctx.rho_R_fn_1 (ctx.f_fn_1 x_all)) = (ctx.rho_VED_fn_1 x_all))) ∧ (∀ z_all : ℂ, z_all ∈ ctx.U_Rim_rho → ((ctx.rho_VED_fn_1 (ctx.f_inv_fn_1 z_all)) = (ctx.rho_R_fn_1 z_all)))))) → (Node_P_RHO_ISO_source_3 ctx) def DeductiveLink_P_v_2 (ctx : FormalContext) : Prop := (True) → ((ctx.dt_prime = (ctx.dt * (ctx.sqrt ((1 : ℝ) - (ctx.v ^ 2 / ctx.c ^ 2))))) ∧ (ctx.v = ctx.Derivative_t (ctx.DerivativeSubject_s)) ∧ (ctx.c = 1) ∧ (ctx.dt_prime ^ 2 = (ctx.dt ^ 2 - ctx.ds ^ 2))) → ((ctx.ds ^ 2 = (ctx.dt ^ 2 - ctx.dt_prime ^ 2))) → (Node_P_v_source_2 ctx) def DeductiveLink_P_RIM_S_1 (ctx : FormalContext) : Prop := (((∃ h : ↥(ctx.U_VED_rho) ≃ ↥(ctx.U_Rim_rho), (∀ x_iso : ↥(ctx.U_VED_rho), (h x_iso).val = ctx.f_fn_1 x_iso.val) ∧ (∀ z_iso : ↥(ctx.U_Rim_rho), (h.symm z_iso).val = ctx.f_inv_fn_1 z_iso.val) ∧ (∀ x_all : ℝ, x_all ∈ ctx.U_VED_rho → ((ctx.rho_R_fn_1 (ctx.f_fn_1 x_all)) = (ctx.rho_VED_fn_1 x_all))) ∧ (∀ z_all : ℂ, z_all ∈ ctx.U_Rim_rho → ((ctx.rho_VED_fn_1 (ctx.f_inv_fn_1 z_all)) = (ctx.rho_R_fn_1 z_all)))))) → (((∀ x_all : ℝ, x_all ∈ ctx.U_VED_rho → ((ctx.rho_R_fn_1 (ctx.f_fn_1 x_all)) = (ctx.rho_VED_fn_1 x_all))) ∧ (∀ z_all : ℂ, z_all ∈ ctx.U_Rim_rho → ((ctx.rho_VED_fn_1 (ctx.f_inv_fn_1 z_all)) = (ctx.rho_R_fn_1 z_all))))) → (Node_P_RIM_S_source_1 ctx) def DeductiveLink_P_RIM_S_2 (ctx : FormalContext) : Prop := (Node_P_RIM_S_source_1 ctx) → (((∃ h : ↥(ctx.U_VED_rho) ≃ ↥(ctx.U_Rim_rho), (∀ x_iso : ↥(ctx.U_VED_rho), (h x_iso).val = ctx.f_fn_1 x_iso.val) ∧ (∀ z_iso : ↥(ctx.U_Rim_rho), (h.symm z_iso).val = ctx.f_inv_fn_1 z_iso.val) ∧ (∀ x_all : ℝ, x_all ∈ ctx.U_VED_rho → ((ctx.rho_R_fn_1 (ctx.f_fn_1 x_all)) = (ctx.rho_VED_fn_1 x_all))) ∧ (∀ z_all : ℂ, z_all ∈ ctx.U_Rim_rho → ((ctx.rho_VED_fn_1 (ctx.f_inv_fn_1 z_all)) = (ctx.rho_R_fn_1 z_all)))))) → (((∀ x_all : ℝ, x_all ∈ ctx.U_VED_rho → ((ctx.rho_R_fn_1 (ctx.f_fn_1 x_all)) = (ctx.rho_VED_fn_1 x_all))) ∧ (∀ z_all : ℂ, z_all ∈ ctx.U_Rim_rho → ((ctx.rho_VED_fn_1 (ctx.f_inv_fn_1 z_all)) = (ctx.rho_R_fn_1 z_all))))) → (Node_P_RIM_S_source_2 ctx) def DeductiveLink_P_VED_E_2 (ctx : FormalContext) : Prop := ((ctx.k ∈ {x : ℕ | 0 < x})) → ((ctx.rho = (ctx.dist_fn_2 ctx.n {x : ℕ | 0 < x})) ∧ ((0 ≤ ctx.rho) ∧ (ctx.rho ≤ ((1 : ℝ) / (2 : ℝ)))) ∧ ((((ctx.n) = (((ctx.k : ℝ) + ctx.rho)) ∨ (ctx.n) = (((ctx.k : ℝ) - ctx.rho)))) ∧ (ctx.k ∈ {x : ℕ | 0 < x}) ∧ ((0 ≤ ctx.rho) ∧ (ctx.rho ≤ ((1 : ℝ) / (2 : ℝ))))) ∧ (((ctx.L_fn_2 ctx.k ctx.rho) = ((((ctx.k : ℝ) + ctx.rho) * ctx.lambda)) ∨ (ctx.L_fn_2 ctx.k ctx.rho) = ((((ctx.k : ℝ) - ctx.rho) * ctx.lambda)))) ∧ (((ctx.R_VED_fn_2 ctx.k ctx.rho) = (((((ctx.k : ℝ) + ctx.rho) * ctx.lambda) / ((2 : ℝ) * Real.pi))) ∨ (ctx.R_VED_fn_2 ctx.k ctx.rho) = (((((ctx.k : ℝ) - ctx.rho) * ctx.lambda) / ((2 : ℝ) * Real.pi)))))) → (Node_P_VED_E_source_2 ctx) def DeductiveLink_P_VED_I_2 (ctx : FormalContext) : Prop := ((ctx.k ∈ {x : ℕ | 0 < x})) → ((ctx.rho = (ctx.dist_fn_2 ctx.n {x : ℕ | 0 < x})) ∧ ((0 ≤ ctx.rho) ∧ (ctx.rho ≤ ((1 : ℝ) / (2 : ℝ)))) ∧ ((((ctx.n) = (((ctx.k : ℝ) + ctx.rho)) ∨ (ctx.n) = (((ctx.k : ℝ) - ctx.rho)))) ∧ (ctx.k ∈ {x : ℕ | 0 < x}) ∧ ((0 ≤ ctx.rho) ∧ (ctx.rho ≤ ((1 : ℝ) / (2 : ℝ))))) ∧ (((ctx.L_fn_2 ctx.k ctx.rho) = ((((ctx.k : ℝ) + ctx.rho) * ctx.lambda)) ∨ (ctx.L_fn_2 ctx.k ctx.rho) = ((((ctx.k : ℝ) - ctx.rho) * ctx.lambda)))) ∧ (((ctx.R_VED_fn_2 ctx.k ctx.rho) = (((((ctx.k : ℝ) + ctx.rho) * ctx.lambda) / ((2 : ℝ) * Real.pi))) ∨ (ctx.R_VED_fn_2 ctx.k ctx.rho) = (((((ctx.k : ℝ) - ctx.rho) * ctx.lambda) / ((2 : ℝ) * Real.pi)))))) → ((((((ctx.rho = 0) ↔ ((ctx.n = ctx.k) ∧ (ctx.k ∈ {x : ℕ | 0 < x}))) ∧ (((ctx.n = ctx.k) ∧ (ctx.k ∈ {x : ℕ | 0 < x})) ↔ (ctx.L = ((ctx.k : ℝ) * ctx.lambda)))) ∧ ((ctx.L = ((ctx.k : ℝ) * ctx.lambda)) ↔ Derived_Text_cierre_exacto_en_fase ctx)) ∧ (Derived_Text_cierre_exacto_en_fase ctx ↔ Derived_Text_estado_estable ctx))) → (Node_P_VED_I_source_2 ctx) def DeductiveLink_P_VED_K_E_1 (ctx : FormalContext) : Prop := ((ctx.rho = (ctx.dist_fn_2 ctx.n {x : ℕ | 0 < x})) ∧ ((0 ≤ ctx.rho) ∧ (ctx.rho ≤ ((1 : ℝ) / (2 : ℝ)))) ∧ ((((ctx.n) = (((ctx.k : ℝ) + ctx.rho)) ∨ (ctx.n) = (((ctx.k : ℝ) - ctx.rho)))) ∧ (ctx.k ∈ {x : ℕ | 0 < x}) ∧ ((0 ≤ ctx.rho) ∧ (ctx.rho ≤ ((1 : ℝ) / (2 : ℝ))))) ∧ (((ctx.L_fn_2 ctx.k ctx.rho) = ((((ctx.k : ℝ) + ctx.rho) * ctx.lambda)) ∨ (ctx.L_fn_2 ctx.k ctx.rho) = ((((ctx.k : ℝ) - ctx.rho) * ctx.lambda)))) ∧ (((ctx.R_VED_fn_2 ctx.k ctx.rho) = (((((ctx.k : ℝ) + ctx.rho) * ctx.lambda) / ((2 : ℝ) * Real.pi))) ∨ (ctx.R_VED_fn_2 ctx.k ctx.rho) = (((((ctx.k : ℝ) - ctx.rho) * ctx.lambda) / ((2 : ℝ) * Real.pi)))))) → ((((((ctx.rho = 0) ↔ ((ctx.n = ctx.k) ∧ (ctx.k ∈ {x : ℕ | 0 < x}))) ∧ (((ctx.n = ctx.k) ∧ (ctx.k ∈ {x : ℕ | 0 < x})) ↔ (ctx.L = ((ctx.k : ℝ) * ctx.lambda)))) ∧ ((ctx.L = ((ctx.k : ℝ) * ctx.lambda)) ↔ Derived_Text_cierre_exacto_en_fase ctx)) ∧ (Derived_Text_cierre_exacto_en_fase ctx ↔ Derived_Text_estado_estable ctx))) → ((((0 < ctx.rho) ∧ (ctx.rho ≤ ((1 : ℝ) / (2 : ℝ)))) ↔ Derived_Text_cierre_no_estable ctx)) → (Node_P_VED_K_E_source_1 ctx) def DeductiveLink_P_VED_K_E_2 (ctx : FormalContext) : Prop := (Node_P_VED_K_E_source_1 ctx) → ((ctx.rho = (ctx.dist_fn_2 ctx.n {x : ℕ | 0 < x})) ∧ ((0 ≤ ctx.rho) ∧ (ctx.rho ≤ ((1 : ℝ) / (2 : ℝ)))) ∧ ((((ctx.n) = (((ctx.k : ℝ) + ctx.rho)) ∨ (ctx.n) = (((ctx.k : ℝ) - ctx.rho)))) ∧ (ctx.k ∈ {x : ℕ | 0 < x}) ∧ ((0 ≤ ctx.rho) ∧ (ctx.rho ≤ ((1 : ℝ) / (2 : ℝ))))) ∧ (((ctx.L_fn_2 ctx.k ctx.rho) = ((((ctx.k : ℝ) + ctx.rho) * ctx.lambda)) ∨ (ctx.L_fn_2 ctx.k ctx.rho) = ((((ctx.k : ℝ) - ctx.rho) * ctx.lambda)))) ∧ (((ctx.R_VED_fn_2 ctx.k ctx.rho) = (((((ctx.k : ℝ) + ctx.rho) * ctx.lambda) / ((2 : ℝ) * Real.pi))) ∨ (ctx.R_VED_fn_2 ctx.k ctx.rho) = (((((ctx.k : ℝ) - ctx.rho) * ctx.lambda) / ((2 : ℝ) * Real.pi)))))) → ((((((ctx.rho = 0) ↔ ((ctx.n = ctx.k) ∧ (ctx.k ∈ {x : ℕ | 0 < x}))) ∧ (((ctx.n = ctx.k) ∧ (ctx.k ∈ {x : ℕ | 0 < x})) ↔ (ctx.L = ((ctx.k : ℝ) * ctx.lambda)))) ∧ ((ctx.L = ((ctx.k : ℝ) * ctx.lambda)) ↔ Derived_Text_cierre_exacto_en_fase ctx)) ∧ (Derived_Text_cierre_exacto_en_fase ctx ↔ Derived_Text_estado_estable ctx))) → ((((0 < ctx.rho) ∧ (ctx.rho ≤ ((1 : ℝ) / (2 : ℝ)))) ↔ Derived_Text_cierre_no_estable ctx)) → (Node_P_VED_K_E_source_2 ctx) def DeductiveLink_P_VR_E_2 (ctx : FormalContext) : Prop := (((ctx.rho_VED = ctx.rho_R) ∧ (ctx.rho_R = (abs (ctx.a - ((1 : ℝ) / (2 : ℝ))))))) → (Node_P_VR_E_source_2 ctx) def DeductiveLink_P_VED_R_C_1 (ctx : FormalContext) : Prop := ((((0 < ctx.rho) ∧ (ctx.rho ≤ ((1 : ℝ) / (2 : ℝ)))) ↔ Derived_Text_cierre_no_estable ctx)) → ((((ctx.rho = 0)) → (ctx.mathcal_E_VED = ({x | ∃ k : ℕ, (k ∈ {x : ℕ | 0 < x}) ∧ (x = ((k, 0)))})))) → (Node_P_VED_R_C_source_1 ctx) def DeductiveLink_T_RIEMANN_1 (ctx : FormalContext) : Prop := (((∃ h : ↥(ctx.U_VED_rho) ≃ ↥(ctx.U_Rim_rho), (∀ x_iso : ↥(ctx.U_VED_rho), (h x_iso).val = ctx.f_fn_1 x_iso.val) ∧ (∀ z_iso : ↥(ctx.U_Rim_rho), (h.symm z_iso).val = ctx.f_inv_fn_1 z_iso.val) ∧ (∀ x_all : ℝ, x_all ∈ ctx.U_VED_rho → ((ctx.rho_R_fn_1 (ctx.f_fn_1 x_all)) = (ctx.rho_VED_fn_1 x_all))) ∧ (∀ z_all : ℂ, z_all ∈ ctx.U_Rim_rho → ((ctx.rho_VED_fn_1 (ctx.f_inv_fn_1 z_all)) = (ctx.rho_R_fn_1 z_all)))))) → (((∀ x_all : ℝ, x_all ∈ ctx.U_VED_rho → ((ctx.rho_R_fn_1 (ctx.f_fn_1 x_all)) = (ctx.rho_VED_fn_1 x_all))) ∧ (∀ z_all : ℂ, z_all ∈ ctx.U_Rim_rho → ((ctx.rho_VED_fn_1 (ctx.f_inv_fn_1 z_all)) = (ctx.rho_R_fn_1 z_all))))) → ((∀ z : ℂ, (z ∈ ctx.U_Rim) → ((Derived_Stable_Rim ctx z) ↔ ((ctx.rho_R_fn_1 z) = 0)))) → ((∀ z : ℂ, (z ∈ ctx.Z_Rim_nt) → (((ctx.zeta z) = 0) ∧ (ctx.rho_R = ctx.rho_VED)))) → (((0 < ctx.a) ∧ (ctx.a < 1)) ∧ ((0 ≤ ctx.rho_R) ∧ (ctx.rho_R < ((1 : ℝ) / (2 : ℝ)))) ∧ (ctx.a = (((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) + (ctx.varepsilon * ctx.rho_R))) ∧ (((ctx.z_varepsilon_PM) = (((((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) + (ctx.varepsilon * ctx.rho_R)) + ctx.ib)) ∨ (ctx.z_varepsilon_PM) = (((((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) + (ctx.varepsilon * ctx.rho_R)) - ctx.ib)))) ∧ (ctx.rho_R = (abs ((Complex.re ctx.z) - ((1 : ℝ) / (2 : ℝ)))))) → (((ctx.rho_VED = ctx.rho_R) ∧ (ctx.rho_R = (abs (ctx.a - ((1 : ℝ) / (2 : ℝ))))))) → (Node_T_RIEMANN_source_1 ctx) def DeductiveLink_T_RIEMANN_2 (ctx : FormalContext) : Prop := (Node_T_RIEMANN_source_1 ctx) → (((∃ h : ↥(ctx.U_VED_rho) ≃ ↥(ctx.U_Rim_rho), (∀ x_iso : ↥(ctx.U_VED_rho), (h x_iso).val = ctx.f_fn_1 x_iso.val) ∧ (∀ z_iso : ↥(ctx.U_Rim_rho), (h.symm z_iso).val = ctx.f_inv_fn_1 z_iso.val) ∧ (∀ x_all : ℝ, x_all ∈ ctx.U_VED_rho → ((ctx.rho_R_fn_1 (ctx.f_fn_1 x_all)) = (ctx.rho_VED_fn_1 x_all))) ∧ (∀ z_all : ℂ, z_all ∈ ctx.U_Rim_rho → ((ctx.rho_VED_fn_1 (ctx.f_inv_fn_1 z_all)) = (ctx.rho_R_fn_1 z_all)))))) → (((∀ x_all : ℝ, x_all ∈ ctx.U_VED_rho → ((ctx.rho_R_fn_1 (ctx.f_fn_1 x_all)) = (ctx.rho_VED_fn_1 x_all))) ∧ (∀ z_all : ℂ, z_all ∈ ctx.U_Rim_rho → ((ctx.rho_VED_fn_1 (ctx.f_inv_fn_1 z_all)) = (ctx.rho_R_fn_1 z_all))))) → ((∀ z : ℂ, (z ∈ ctx.U_Rim) → ((Derived_Stable_Rim ctx z) ↔ ((ctx.rho_R_fn_1 z) = 0)))) → ((∀ z : ℂ, (z ∈ ctx.Z_Rim_nt) → (((ctx.zeta z) = 0) ∧ (ctx.rho_R = ctx.rho_VED)))) → (((0 < ctx.a) ∧ (ctx.a < 1)) ∧ ((0 ≤ ctx.rho_R) ∧ (ctx.rho_R < ((1 : ℝ) / (2 : ℝ)))) ∧ (ctx.a = (((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) + (ctx.varepsilon * ctx.rho_R))) ∧ (((ctx.z_varepsilon_PM) = (((((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) + (ctx.varepsilon * ctx.rho_R)) + ctx.ib)) ∨ (ctx.z_varepsilon_PM) = (((((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) + (ctx.varepsilon * ctx.rho_R)) - ctx.ib)))) ∧ (ctx.rho_R = (abs ((Complex.re ctx.z) - ((1 : ℝ) / (2 : ℝ)))))) → (((ctx.rho_VED = ctx.rho_R) ∧ (ctx.rho_R = (abs (ctx.a - ((1 : ℝ) / (2 : ℝ))))))) → (Node_T_RIEMANN_source_2 ctx) def DeductiveLink_T_RIEMANN_3 (ctx : FormalContext) : Prop := (Node_T_RIEMANN_source_2 ctx) → (((∃ h : ↥(ctx.U_VED_rho) ≃ ↥(ctx.U_Rim_rho), (∀ x_iso : ↥(ctx.U_VED_rho), (h x_iso).val = ctx.f_fn_1 x_iso.val) ∧ (∀ z_iso : ↥(ctx.U_Rim_rho), (h.symm z_iso).val = ctx.f_inv_fn_1 z_iso.val) ∧ (∀ x_all : ℝ, x_all ∈ ctx.U_VED_rho → ((ctx.rho_R_fn_1 (ctx.f_fn_1 x_all)) = (ctx.rho_VED_fn_1 x_all))) ∧ (∀ z_all : ℂ, z_all ∈ ctx.U_Rim_rho → ((ctx.rho_VED_fn_1 (ctx.f_inv_fn_1 z_all)) = (ctx.rho_R_fn_1 z_all)))))) → (((∀ x_all : ℝ, x_all ∈ ctx.U_VED_rho → ((ctx.rho_R_fn_1 (ctx.f_fn_1 x_all)) = (ctx.rho_VED_fn_1 x_all))) ∧ (∀ z_all : ℂ, z_all ∈ ctx.U_Rim_rho → ((ctx.rho_VED_fn_1 (ctx.f_inv_fn_1 z_all)) = (ctx.rho_R_fn_1 z_all))))) → ((∀ z : ℂ, (z ∈ ctx.U_Rim) → ((Derived_Stable_Rim ctx z) ↔ ((ctx.rho_R_fn_1 z) = 0)))) → ((∀ z : ℂ, (z ∈ ctx.Z_Rim_nt) → (((ctx.zeta z) = 0) ∧ (ctx.rho_R = ctx.rho_VED)))) → (((0 < ctx.a) ∧ (ctx.a < 1)) ∧ ((0 ≤ ctx.rho_R) ∧ (ctx.rho_R < ((1 : ℝ) / (2 : ℝ)))) ∧ (ctx.a = (((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) + (ctx.varepsilon * ctx.rho_R))) ∧ (((ctx.z_varepsilon_PM) = (((((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) + (ctx.varepsilon * ctx.rho_R)) + ctx.ib)) ∨ (ctx.z_varepsilon_PM) = (((((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) + (ctx.varepsilon * ctx.rho_R)) - ctx.ib)))) ∧ (ctx.rho_R = (abs ((Complex.re ctx.z) - ((1 : ℝ) / (2 : ℝ)))))) → (((ctx.rho_VED = ctx.rho_R) ∧ (ctx.rho_R = (abs (ctx.a - ((1 : ℝ) / (2 : ℝ))))))) → (Node_T_RIEMANN_source_3 ctx) def DeductiveLink_T_RIEMANN_4 (ctx : FormalContext) : Prop := (Node_T_RIEMANN_source_3 ctx) → (((∃ h : ↥(ctx.U_VED_rho) ≃ ↥(ctx.U_Rim_rho), (∀ x_iso : ↥(ctx.U_VED_rho), (h x_iso).val = ctx.f_fn_1 x_iso.val) ∧ (∀ z_iso : ↥(ctx.U_Rim_rho), (h.symm z_iso).val = ctx.f_inv_fn_1 z_iso.val) ∧ (∀ x_all : ℝ, x_all ∈ ctx.U_VED_rho → ((ctx.rho_R_fn_1 (ctx.f_fn_1 x_all)) = (ctx.rho_VED_fn_1 x_all))) ∧ (∀ z_all : ℂ, z_all ∈ ctx.U_Rim_rho → ((ctx.rho_VED_fn_1 (ctx.f_inv_fn_1 z_all)) = (ctx.rho_R_fn_1 z_all)))))) → (((∀ x_all : ℝ, x_all ∈ ctx.U_VED_rho → ((ctx.rho_R_fn_1 (ctx.f_fn_1 x_all)) = (ctx.rho_VED_fn_1 x_all))) ∧ (∀ z_all : ℂ, z_all ∈ ctx.U_Rim_rho → ((ctx.rho_VED_fn_1 (ctx.f_inv_fn_1 z_all)) = (ctx.rho_R_fn_1 z_all))))) → ((∀ z : ℂ, (z ∈ ctx.U_Rim) → ((Derived_Stable_Rim ctx z) ↔ ((ctx.rho_R_fn_1 z) = 0)))) → ((∀ z : ℂ, (z ∈ ctx.Z_Rim_nt) → (((ctx.zeta z) = 0) ∧ (ctx.rho_R = ctx.rho_VED)))) → (((0 < ctx.a) ∧ (ctx.a < 1)) ∧ ((0 ≤ ctx.rho_R) ∧ (ctx.rho_R < ((1 : ℝ) / (2 : ℝ)))) ∧ (ctx.a = (((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) + (ctx.varepsilon * ctx.rho_R))) ∧ (((ctx.z_varepsilon_PM) = (((((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) + (ctx.varepsilon * ctx.rho_R)) + ctx.ib)) ∨ (ctx.z_varepsilon_PM) = (((((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) + (ctx.varepsilon * ctx.rho_R)) - ctx.ib)))) ∧ (ctx.rho_R = (abs ((Complex.re ctx.z) - ((1 : ℝ) / (2 : ℝ)))))) → (((ctx.rho_VED = ctx.rho_R) ∧ (ctx.rho_R = (abs (ctx.a - ((1 : ℝ) / (2 : ℝ))))))) → (Node_T_RIEMANN_source_4 ctx) def DeductiveLink_T_RIEMANN_5 (ctx : FormalContext) : Prop := (Node_T_RIEMANN_source_4 ctx) → (((∃ h : ↥(ctx.U_VED_rho) ≃ ↥(ctx.U_Rim_rho), (∀ x_iso : ↥(ctx.U_VED_rho), (h x_iso).val = ctx.f_fn_1 x_iso.val) ∧ (∀ z_iso : ↥(ctx.U_Rim_rho), (h.symm z_iso).val = ctx.f_inv_fn_1 z_iso.val) ∧ (∀ x_all : ℝ, x_all ∈ ctx.U_VED_rho → ((ctx.rho_R_fn_1 (ctx.f_fn_1 x_all)) = (ctx.rho_VED_fn_1 x_all))) ∧ (∀ z_all : ℂ, z_all ∈ ctx.U_Rim_rho → ((ctx.rho_VED_fn_1 (ctx.f_inv_fn_1 z_all)) = (ctx.rho_R_fn_1 z_all)))))) → (((∀ x_all : ℝ, x_all ∈ ctx.U_VED_rho → ((ctx.rho_R_fn_1 (ctx.f_fn_1 x_all)) = (ctx.rho_VED_fn_1 x_all))) ∧ (∀ z_all : ℂ, z_all ∈ ctx.U_Rim_rho → ((ctx.rho_VED_fn_1 (ctx.f_inv_fn_1 z_all)) = (ctx.rho_R_fn_1 z_all))))) → ((∀ z : ℂ, (z ∈ ctx.U_Rim) → ((Derived_Stable_Rim ctx z) ↔ ((ctx.rho_R_fn_1 z) = 0)))) → ((∀ z : ℂ, (z ∈ ctx.Z_Rim_nt) → (((ctx.zeta z) = 0) ∧ (ctx.rho_R = ctx.rho_VED)))) → (((0 < ctx.a) ∧ (ctx.a < 1)) ∧ ((0 ≤ ctx.rho_R) ∧ (ctx.rho_R < ((1 : ℝ) / (2 : ℝ)))) ∧ (ctx.a = (((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) + (ctx.varepsilon * ctx.rho_R))) ∧ (((ctx.z_varepsilon_PM) = (((((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) + (ctx.varepsilon * ctx.rho_R)) + ctx.ib)) ∨ (ctx.z_varepsilon_PM) = (((((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) + (ctx.varepsilon * ctx.rho_R)) - ctx.ib)))) ∧ (ctx.rho_R = (abs ((Complex.re ctx.z) - ((1 : ℝ) / (2 : ℝ)))))) → (((ctx.rho_VED = ctx.rho_R) ∧ (ctx.rho_R = (abs (ctx.a - ((1 : ℝ) / (2 : ℝ))))))) → (Node_T_RIEMANN_source_5 ctx) def DeductiveLink_T_RIEMANN_6 (ctx : FormalContext) : Prop := (Node_T_RIEMANN_source_5 ctx) → (((∃ h : ↥(ctx.U_VED_rho) ≃ ↥(ctx.U_Rim_rho), (∀ x_iso : ↥(ctx.U_VED_rho), (h x_iso).val = ctx.f_fn_1 x_iso.val) ∧ (∀ z_iso : ↥(ctx.U_Rim_rho), (h.symm z_iso).val = ctx.f_inv_fn_1 z_iso.val) ∧ (∀ x_all : ℝ, x_all ∈ ctx.U_VED_rho → ((ctx.rho_R_fn_1 (ctx.f_fn_1 x_all)) = (ctx.rho_VED_fn_1 x_all))) ∧ (∀ z_all : ℂ, z_all ∈ ctx.U_Rim_rho → ((ctx.rho_VED_fn_1 (ctx.f_inv_fn_1 z_all)) = (ctx.rho_R_fn_1 z_all)))))) → (((∀ x_all : ℝ, x_all ∈ ctx.U_VED_rho → ((ctx.rho_R_fn_1 (ctx.f_fn_1 x_all)) = (ctx.rho_VED_fn_1 x_all))) ∧ (∀ z_all : ℂ, z_all ∈ ctx.U_Rim_rho → ((ctx.rho_VED_fn_1 (ctx.f_inv_fn_1 z_all)) = (ctx.rho_R_fn_1 z_all))))) → ((∀ z : ℂ, (z ∈ ctx.U_Rim) → ((Derived_Stable_Rim ctx z) ↔ ((ctx.rho_R_fn_1 z) = 0)))) → ((∀ z : ℂ, (z ∈ ctx.Z_Rim_nt) → (((ctx.zeta z) = 0) ∧ (ctx.rho_R = ctx.rho_VED)))) → (((0 < ctx.a) ∧ (ctx.a < 1)) ∧ ((0 ≤ ctx.rho_R) ∧ (ctx.rho_R < ((1 : ℝ) / (2 : ℝ)))) ∧ (ctx.a = (((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) + (ctx.varepsilon * ctx.rho_R))) ∧ (((ctx.z_varepsilon_PM) = (((((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) + (ctx.varepsilon * ctx.rho_R)) + ctx.ib)) ∨ (ctx.z_varepsilon_PM) = (((((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) + (ctx.varepsilon * ctx.rho_R)) - ctx.ib)))) ∧ (ctx.rho_R = (abs ((Complex.re ctx.z) - ((1 : ℝ) / (2 : ℝ)))))) → (((ctx.rho_VED = ctx.rho_R) ∧ (ctx.rho_R = (abs (ctx.a - ((1 : ℝ) / (2 : ℝ))))))) → (Node_T_RIEMANN_source_6 ctx) def DeductiveLink_T_RIEMANN_8 (ctx : FormalContext) : Prop := (Node_T_RIEMANN_source_7 ctx) → (((∃ h : ↥(ctx.U_VED_rho) ≃ ↥(ctx.U_Rim_rho), (∀ x_iso : ↥(ctx.U_VED_rho), (h x_iso).val = ctx.f_fn_1 x_iso.val) ∧ (∀ z_iso : ↥(ctx.U_Rim_rho), (h.symm z_iso).val = ctx.f_inv_fn_1 z_iso.val) ∧ (∀ x_all : ℝ, x_all ∈ ctx.U_VED_rho → ((ctx.rho_R_fn_1 (ctx.f_fn_1 x_all)) = (ctx.rho_VED_fn_1 x_all))) ∧ (∀ z_all : ℂ, z_all ∈ ctx.U_Rim_rho → ((ctx.rho_VED_fn_1 (ctx.f_inv_fn_1 z_all)) = (ctx.rho_R_fn_1 z_all)))))) → (((∀ x_all : ℝ, x_all ∈ ctx.U_VED_rho → ((ctx.rho_R_fn_1 (ctx.f_fn_1 x_all)) = (ctx.rho_VED_fn_1 x_all))) ∧ (∀ z_all : ℂ, z_all ∈ ctx.U_Rim_rho → ((ctx.rho_VED_fn_1 (ctx.f_inv_fn_1 z_all)) = (ctx.rho_R_fn_1 z_all))))) → ((∀ z : ℂ, (z ∈ ctx.U_Rim) → ((Derived_Stable_Rim ctx z) ↔ ((ctx.rho_R_fn_1 z) = 0)))) → ((∀ z : ℂ, (z ∈ ctx.Z_Rim_nt) → (((ctx.zeta z) = 0) ∧ (ctx.rho_R = ctx.rho_VED)))) → (((0 < ctx.a) ∧ (ctx.a < 1)) ∧ ((0 ≤ ctx.rho_R) ∧ (ctx.rho_R < ((1 : ℝ) / (2 : ℝ)))) ∧ (ctx.a = (((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) + (ctx.varepsilon * ctx.rho_R))) ∧ (((ctx.z_varepsilon_PM) = (((((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) + (ctx.varepsilon * ctx.rho_R)) + ctx.ib)) ∨ (ctx.z_varepsilon_PM) = (((((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) + (ctx.varepsilon * ctx.rho_R)) - ctx.ib)))) ∧ (ctx.rho_R = (abs ((Complex.re ctx.z) - ((1 : ℝ) / (2 : ℝ)))))) → (((ctx.rho_VED = ctx.rho_R) ∧ (ctx.rho_R = (abs (ctx.a - ((1 : ℝ) / (2 : ℝ))))))) → (Node_T_RIEMANN_source_8 ctx) def DeductiveLink_T_RIEMANN_9 (ctx : FormalContext) : Prop := (Node_T_RIEMANN_source_8 ctx) → (((∃ h : ↥(ctx.U_VED_rho) ≃ ↥(ctx.U_Rim_rho), (∀ x_iso : ↥(ctx.U_VED_rho), (h x_iso).val = ctx.f_fn_1 x_iso.val) ∧ (∀ z_iso : ↥(ctx.U_Rim_rho), (h.symm z_iso).val = ctx.f_inv_fn_1 z_iso.val) ∧ (∀ x_all : ℝ, x_all ∈ ctx.U_VED_rho → ((ctx.rho_R_fn_1 (ctx.f_fn_1 x_all)) = (ctx.rho_VED_fn_1 x_all))) ∧ (∀ z_all : ℂ, z_all ∈ ctx.U_Rim_rho → ((ctx.rho_VED_fn_1 (ctx.f_inv_fn_1 z_all)) = (ctx.rho_R_fn_1 z_all)))))) → (((∀ x_all : ℝ, x_all ∈ ctx.U_VED_rho → ((ctx.rho_R_fn_1 (ctx.f_fn_1 x_all)) = (ctx.rho_VED_fn_1 x_all))) ∧ (∀ z_all : ℂ, z_all ∈ ctx.U_Rim_rho → ((ctx.rho_VED_fn_1 (ctx.f_inv_fn_1 z_all)) = (ctx.rho_R_fn_1 z_all))))) → ((∀ z : ℂ, (z ∈ ctx.U_Rim) → ((Derived_Stable_Rim ctx z) ↔ ((ctx.rho_R_fn_1 z) = 0)))) → ((∀ z : ℂ, (z ∈ ctx.Z_Rim_nt) → (((ctx.zeta z) = 0) ∧ (ctx.rho_R = ctx.rho_VED)))) → (((0 < ctx.a) ∧ (ctx.a < 1)) ∧ ((0 ≤ ctx.rho_R) ∧ (ctx.rho_R < ((1 : ℝ) / (2 : ℝ)))) ∧ (ctx.a = (((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) + (ctx.varepsilon * ctx.rho_R))) ∧ (((ctx.z_varepsilon_PM) = (((((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) + (ctx.varepsilon * ctx.rho_R)) + ctx.ib)) ∨ (ctx.z_varepsilon_PM) = (((((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) + (ctx.varepsilon * ctx.rho_R)) - ctx.ib)))) ∧ (ctx.rho_R = (abs ((Complex.re ctx.z) - ((1 : ℝ) / (2 : ℝ)))))) → (((ctx.rho_VED = ctx.rho_R) ∧ (ctx.rho_R = (abs (ctx.a - ((1 : ℝ) / (2 : ℝ))))))) → (Node_T_RIEMANN_source_9 ctx) def DeductiveLink_T_RIEMANN_10 (ctx : FormalContext) : Prop := (Node_T_RIEMANN_source_9 ctx) → (((∃ h : ↥(ctx.U_VED_rho) ≃ ↥(ctx.U_Rim_rho), (∀ x_iso : ↥(ctx.U_VED_rho), (h x_iso).val = ctx.f_fn_1 x_iso.val) ∧ (∀ z_iso : ↥(ctx.U_Rim_rho), (h.symm z_iso).val = ctx.f_inv_fn_1 z_iso.val) ∧ (∀ x_all : ℝ, x_all ∈ ctx.U_VED_rho → ((ctx.rho_R_fn_1 (ctx.f_fn_1 x_all)) = (ctx.rho_VED_fn_1 x_all))) ∧ (∀ z_all : ℂ, z_all ∈ ctx.U_Rim_rho → ((ctx.rho_VED_fn_1 (ctx.f_inv_fn_1 z_all)) = (ctx.rho_R_fn_1 z_all)))))) → (((∀ x_all : ℝ, x_all ∈ ctx.U_VED_rho → ((ctx.rho_R_fn_1 (ctx.f_fn_1 x_all)) = (ctx.rho_VED_fn_1 x_all))) ∧ (∀ z_all : ℂ, z_all ∈ ctx.U_Rim_rho → ((ctx.rho_VED_fn_1 (ctx.f_inv_fn_1 z_all)) = (ctx.rho_R_fn_1 z_all))))) → ((∀ z : ℂ, (z ∈ ctx.U_Rim) → ((Derived_Stable_Rim ctx z) ↔ ((ctx.rho_R_fn_1 z) = 0)))) → ((∀ z : ℂ, (z ∈ ctx.Z_Rim_nt) → (((ctx.zeta z) = 0) ∧ (ctx.rho_R = ctx.rho_VED)))) → (((0 < ctx.a) ∧ (ctx.a < 1)) ∧ ((0 ≤ ctx.rho_R) ∧ (ctx.rho_R < ((1 : ℝ) / (2 : ℝ)))) ∧ (ctx.a = (((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) + (ctx.varepsilon * ctx.rho_R))) ∧ (((ctx.z_varepsilon_PM) = (((((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) + (ctx.varepsilon * ctx.rho_R)) + ctx.ib)) ∨ (ctx.z_varepsilon_PM) = (((((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) + (ctx.varepsilon * ctx.rho_R)) - ctx.ib)))) ∧ (ctx.rho_R = (abs ((Complex.re ctx.z) - ((1 : ℝ) / (2 : ℝ)))))) → (((ctx.rho_VED = ctx.rho_R) ∧ (ctx.rho_R = (abs (ctx.a - ((1 : ℝ) / (2 : ℝ))))))) → (Node_T_RIEMANN_source_10 ctx) def DeductiveLink_T_RIEMANN_11 (ctx : FormalContext) : Prop := (Node_T_RIEMANN_source_10 ctx) → (((∃ h : ↥(ctx.U_VED_rho) ≃ ↥(ctx.U_Rim_rho), (∀ x_iso : ↥(ctx.U_VED_rho), (h x_iso).val = ctx.f_fn_1 x_iso.val) ∧ (∀ z_iso : ↥(ctx.U_Rim_rho), (h.symm z_iso).val = ctx.f_inv_fn_1 z_iso.val) ∧ (∀ x_all : ℝ, x_all ∈ ctx.U_VED_rho → ((ctx.rho_R_fn_1 (ctx.f_fn_1 x_all)) = (ctx.rho_VED_fn_1 x_all))) ∧ (∀ z_all : ℂ, z_all ∈ ctx.U_Rim_rho → ((ctx.rho_VED_fn_1 (ctx.f_inv_fn_1 z_all)) = (ctx.rho_R_fn_1 z_all)))))) → (((∀ x_all : ℝ, x_all ∈ ctx.U_VED_rho → ((ctx.rho_R_fn_1 (ctx.f_fn_1 x_all)) = (ctx.rho_VED_fn_1 x_all))) ∧ (∀ z_all : ℂ, z_all ∈ ctx.U_Rim_rho → ((ctx.rho_VED_fn_1 (ctx.f_inv_fn_1 z_all)) = (ctx.rho_R_fn_1 z_all))))) → ((∀ z : ℂ, (z ∈ ctx.U_Rim) → ((Derived_Stable_Rim ctx z) ↔ ((ctx.rho_R_fn_1 z) = 0)))) → ((∀ z : ℂ, (z ∈ ctx.Z_Rim_nt) → (((ctx.zeta z) = 0) ∧ (ctx.rho_R = ctx.rho_VED)))) → (((0 < ctx.a) ∧ (ctx.a < 1)) ∧ ((0 ≤ ctx.rho_R) ∧ (ctx.rho_R < ((1 : ℝ) / (2 : ℝ)))) ∧ (ctx.a = (((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) + (ctx.varepsilon * ctx.rho_R))) ∧ (((ctx.z_varepsilon_PM) = (((((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) + (ctx.varepsilon * ctx.rho_R)) + ctx.ib)) ∨ (ctx.z_varepsilon_PM) = (((((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) + (ctx.varepsilon * ctx.rho_R)) - ctx.ib)))) ∧ (ctx.rho_R = (abs ((Complex.re ctx.z) - ((1 : ℝ) / (2 : ℝ)))))) → (((ctx.rho_VED = ctx.rho_R) ∧ (ctx.rho_R = (abs (ctx.a - ((1 : ℝ) / (2 : ℝ))))))) → (Node_T_RIEMANN_source_11 ctx) def DeductiveLink_T_RIEMANN_12 (ctx : FormalContext) : Prop := (Node_T_RIEMANN_source_11 ctx) → (((∃ h : ↥(ctx.U_VED_rho) ≃ ↥(ctx.U_Rim_rho), (∀ x_iso : ↥(ctx.U_VED_rho), (h x_iso).val = ctx.f_fn_1 x_iso.val) ∧ (∀ z_iso : ↥(ctx.U_Rim_rho), (h.symm z_iso).val = ctx.f_inv_fn_1 z_iso.val) ∧ (∀ x_all : ℝ, x_all ∈ ctx.U_VED_rho → ((ctx.rho_R_fn_1 (ctx.f_fn_1 x_all)) = (ctx.rho_VED_fn_1 x_all))) ∧ (∀ z_all : ℂ, z_all ∈ ctx.U_Rim_rho → ((ctx.rho_VED_fn_1 (ctx.f_inv_fn_1 z_all)) = (ctx.rho_R_fn_1 z_all)))))) → (((∀ x_all : ℝ, x_all ∈ ctx.U_VED_rho → ((ctx.rho_R_fn_1 (ctx.f_fn_1 x_all)) = (ctx.rho_VED_fn_1 x_all))) ∧ (∀ z_all : ℂ, z_all ∈ ctx.U_Rim_rho → ((ctx.rho_VED_fn_1 (ctx.f_inv_fn_1 z_all)) = (ctx.rho_R_fn_1 z_all))))) → ((∀ z : ℂ, (z ∈ ctx.U_Rim) → ((Derived_Stable_Rim ctx z) ↔ ((ctx.rho_R_fn_1 z) = 0)))) → ((∀ z : ℂ, (z ∈ ctx.Z_Rim_nt) → (((ctx.zeta z) = 0) ∧ (ctx.rho_R = ctx.rho_VED)))) → (((0 < ctx.a) ∧ (ctx.a < 1)) ∧ ((0 ≤ ctx.rho_R) ∧ (ctx.rho_R < ((1 : ℝ) / (2 : ℝ)))) ∧ (ctx.a = (((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) + (ctx.varepsilon * ctx.rho_R))) ∧ (((ctx.z_varepsilon_PM) = (((((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) + (ctx.varepsilon * ctx.rho_R)) + ctx.ib)) ∨ (ctx.z_varepsilon_PM) = (((((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) + (ctx.varepsilon * ctx.rho_R)) - ctx.ib)))) ∧ (ctx.rho_R = (abs ((Complex.re ctx.z) - ((1 : ℝ) / (2 : ℝ)))))) → (((ctx.rho_VED = ctx.rho_R) ∧ (ctx.rho_R = (abs (ctx.a - ((1 : ℝ) / (2 : ℝ))))))) → (Node_T_RIEMANN_source_12 ctx) def DeductiveLink_T_RIEMANN_13 (ctx : FormalContext) : Prop := (Node_T_RIEMANN_source_12 ctx) → (((∃ h : ↥(ctx.U_VED_rho) ≃ ↥(ctx.U_Rim_rho), (∀ x_iso : ↥(ctx.U_VED_rho), (h x_iso).val = ctx.f_fn_1 x_iso.val) ∧ (∀ z_iso : ↥(ctx.U_Rim_rho), (h.symm z_iso).val = ctx.f_inv_fn_1 z_iso.val) ∧ (∀ x_all : ℝ, x_all ∈ ctx.U_VED_rho → ((ctx.rho_R_fn_1 (ctx.f_fn_1 x_all)) = (ctx.rho_VED_fn_1 x_all))) ∧ (∀ z_all : ℂ, z_all ∈ ctx.U_Rim_rho → ((ctx.rho_VED_fn_1 (ctx.f_inv_fn_1 z_all)) = (ctx.rho_R_fn_1 z_all)))))) → (((∀ x_all : ℝ, x_all ∈ ctx.U_VED_rho → ((ctx.rho_R_fn_1 (ctx.f_fn_1 x_all)) = (ctx.rho_VED_fn_1 x_all))) ∧ (∀ z_all : ℂ, z_all ∈ ctx.U_Rim_rho → ((ctx.rho_VED_fn_1 (ctx.f_inv_fn_1 z_all)) = (ctx.rho_R_fn_1 z_all))))) → ((∀ z : ℂ, (z ∈ ctx.U_Rim) → ((Derived_Stable_Rim ctx z) ↔ ((ctx.rho_R_fn_1 z) = 0)))) → ((∀ z : ℂ, (z ∈ ctx.Z_Rim_nt) → (((ctx.zeta z) = 0) ∧ (ctx.rho_R = ctx.rho_VED)))) → (((0 < ctx.a) ∧ (ctx.a < 1)) ∧ ((0 ≤ ctx.rho_R) ∧ (ctx.rho_R < ((1 : ℝ) / (2 : ℝ)))) ∧ (ctx.a = (((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) + (ctx.varepsilon * ctx.rho_R))) ∧ (((ctx.z_varepsilon_PM) = (((((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) + (ctx.varepsilon * ctx.rho_R)) + ctx.ib)) ∨ (ctx.z_varepsilon_PM) = (((((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) + (ctx.varepsilon * ctx.rho_R)) - ctx.ib)))) ∧ (ctx.rho_R = (abs ((Complex.re ctx.z) - ((1 : ℝ) / (2 : ℝ)))))) → (((ctx.rho_VED = ctx.rho_R) ∧ (ctx.rho_R = (abs (ctx.a - ((1 : ℝ) / (2 : ℝ))))))) → (Node_T_RIEMANN_source_13 ctx) def DeductiveLink_T_RIEMANN_14 (ctx : FormalContext) : Prop := (Node_T_RIEMANN_source_13 ctx) → (((∃ h : ↥(ctx.U_VED_rho) ≃ ↥(ctx.U_Rim_rho), (∀ x_iso : ↥(ctx.U_VED_rho), (h x_iso).val = ctx.f_fn_1 x_iso.val) ∧ (∀ z_iso : ↥(ctx.U_Rim_rho), (h.symm z_iso).val = ctx.f_inv_fn_1 z_iso.val) ∧ (∀ x_all : ℝ, x_all ∈ ctx.U_VED_rho → ((ctx.rho_R_fn_1 (ctx.f_fn_1 x_all)) = (ctx.rho_VED_fn_1 x_all))) ∧ (∀ z_all : ℂ, z_all ∈ ctx.U_Rim_rho → ((ctx.rho_VED_fn_1 (ctx.f_inv_fn_1 z_all)) = (ctx.rho_R_fn_1 z_all)))))) → (((∀ x_all : ℝ, x_all ∈ ctx.U_VED_rho → ((ctx.rho_R_fn_1 (ctx.f_fn_1 x_all)) = (ctx.rho_VED_fn_1 x_all))) ∧ (∀ z_all : ℂ, z_all ∈ ctx.U_Rim_rho → ((ctx.rho_VED_fn_1 (ctx.f_inv_fn_1 z_all)) = (ctx.rho_R_fn_1 z_all))))) → ((∀ z : ℂ, (z ∈ ctx.U_Rim) → ((Derived_Stable_Rim ctx z) ↔ ((ctx.rho_R_fn_1 z) = 0)))) → ((∀ z : ℂ, (z ∈ ctx.Z_Rim_nt) → (((ctx.zeta z) = 0) ∧ (ctx.rho_R = ctx.rho_VED)))) → (((0 < ctx.a) ∧ (ctx.a < 1)) ∧ ((0 ≤ ctx.rho_R) ∧ (ctx.rho_R < ((1 : ℝ) / (2 : ℝ)))) ∧ (ctx.a = (((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) + (ctx.varepsilon * ctx.rho_R))) ∧ (((ctx.z_varepsilon_PM) = (((((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) + (ctx.varepsilon * ctx.rho_R)) + ctx.ib)) ∨ (ctx.z_varepsilon_PM) = (((((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) + (ctx.varepsilon * ctx.rho_R)) - ctx.ib)))) ∧ (ctx.rho_R = (abs ((Complex.re ctx.z) - ((1 : ℝ) / (2 : ℝ)))))) → (((ctx.rho_VED = ctx.rho_R) ∧ (ctx.rho_R = (abs (ctx.a - ((1 : ℝ) / (2 : ℝ))))))) → (Node_T_RIEMANN_source_14 ctx) def DeductiveLink_T_RIEMANN_15 (ctx : FormalContext) : Prop := (Node_T_RIEMANN_source_14 ctx) → (((∃ h : ↥(ctx.U_VED_rho) ≃ ↥(ctx.U_Rim_rho), (∀ x_iso : ↥(ctx.U_VED_rho), (h x_iso).val = ctx.f_fn_1 x_iso.val) ∧ (∀ z_iso : ↥(ctx.U_Rim_rho), (h.symm z_iso).val = ctx.f_inv_fn_1 z_iso.val) ∧ (∀ x_all : ℝ, x_all ∈ ctx.U_VED_rho → ((ctx.rho_R_fn_1 (ctx.f_fn_1 x_all)) = (ctx.rho_VED_fn_1 x_all))) ∧ (∀ z_all : ℂ, z_all ∈ ctx.U_Rim_rho → ((ctx.rho_VED_fn_1 (ctx.f_inv_fn_1 z_all)) = (ctx.rho_R_fn_1 z_all)))))) → (((∀ x_all : ℝ, x_all ∈ ctx.U_VED_rho → ((ctx.rho_R_fn_1 (ctx.f_fn_1 x_all)) = (ctx.rho_VED_fn_1 x_all))) ∧ (∀ z_all : ℂ, z_all ∈ ctx.U_Rim_rho → ((ctx.rho_VED_fn_1 (ctx.f_inv_fn_1 z_all)) = (ctx.rho_R_fn_1 z_all))))) → ((∀ z : ℂ, (z ∈ ctx.U_Rim) → ((Derived_Stable_Rim ctx z) ↔ ((ctx.rho_R_fn_1 z) = 0)))) → ((∀ z : ℂ, (z ∈ ctx.Z_Rim_nt) → (((ctx.zeta z) = 0) ∧ (ctx.rho_R = ctx.rho_VED)))) → (((0 < ctx.a) ∧ (ctx.a < 1)) ∧ ((0 ≤ ctx.rho_R) ∧ (ctx.rho_R < ((1 : ℝ) / (2 : ℝ)))) ∧ (ctx.a = (((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) + (ctx.varepsilon * ctx.rho_R))) ∧ (((ctx.z_varepsilon_PM) = (((((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) + (ctx.varepsilon * ctx.rho_R)) + ctx.ib)) ∨ (ctx.z_varepsilon_PM) = (((((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) + (ctx.varepsilon * ctx.rho_R)) - ctx.ib)))) ∧ (ctx.rho_R = (abs ((Complex.re ctx.z) - ((1 : ℝ) / (2 : ℝ)))))) → (((ctx.rho_VED = ctx.rho_R) ∧ (ctx.rho_R = (abs (ctx.a - ((1 : ℝ) / (2 : ℝ))))))) → (Node_T_RIEMANN_source_15 ctx) def DeductiveLink_P_VS_2 (ctx : FormalContext) : Prop := (((0 ≤ ctx.rho) ∧ (ctx.rho ≤ ((1 : ℝ) / (2 : ℝ))))) → ((ctx.U_VED_cerrado = (ctx.mathcal_E_VED ∪ ctx.mathcal_I_VED))) → ((ctx.tilde_N = (ctx.R_VED * ctx.R_Sch)) ∧ (ctx.R_Sch = (ctx.tilde_N / ctx.R_VED)) ∧ (ctx.R_VED = (ctx.tilde_N / ctx.R_Sch)) ∧ ((ctx.Phi_tilde_N_fn_1 ctx.R_VED = ctx.tilde_N / ctx.R_VED)) ∧ (Nonempty (↥(ctx.U_VED) ≃ₜ ↥(ctx.U_Sch)))) → (Node_P_VS_source_2 ctx) def DeductiveLink_P_VS_3 (ctx : FormalContext) : Prop := (Node_P_VS_source_2 ctx) → (((0 ≤ ctx.rho) ∧ (ctx.rho ≤ ((1 : ℝ) / (2 : ℝ))))) → ((ctx.U_VED_cerrado = (ctx.mathcal_E_VED ∪ ctx.mathcal_I_VED))) → ((ctx.tilde_N = (ctx.R_VED * ctx.R_Sch)) ∧ (ctx.R_Sch = (ctx.tilde_N / ctx.R_VED)) ∧ (ctx.R_VED = (ctx.tilde_N / ctx.R_Sch)) ∧ ((ctx.Phi_tilde_N_fn_1 ctx.R_VED = ctx.tilde_N / ctx.R_VED)) ∧ (Nonempty (↥(ctx.U_VED) ≃ₜ ↥(ctx.U_Sch)))) → (Node_P_VS_source_3 ctx) def DeductiveLink_P_W_2 (ctx : FormalContext) : Prop := ((ctx.ds ^ 2 = (ctx.dt ^ 2 - ctx.dt_prime ^ 2))) → ((ctx.F = ((ctx.dt ^ 2 - ctx.dt_prime ^ 2) + (((2 : ℝ) * ctx.dt) * (1 : ℝ)) - (((2 : ℝ) * ctx.dt_prime) * ctx.Derivative_t (ctx.t_prime))))) → ((ctx.F = (((ctx.dt ^ 2 - ctx.dt_prime ^ 2) + ((2 : ℝ) * ctx.dt)) - (((2 : ℝ) * ctx.dt_prime) * ctx.Derivative_t (ctx.t_prime))))) → (Node_P_W_source_2 ctx) def DeductiveLink_P_W_3 (ctx : FormalContext) : Prop := (Node_P_W_source_2 ctx) → ((ctx.ds ^ 2 = (ctx.dt ^ 2 - ctx.dt_prime ^ 2))) → ((ctx.F = ((ctx.dt ^ 2 - ctx.dt_prime ^ 2) + (((2 : ℝ) * ctx.dt) * (1 : ℝ)) - (((2 : ℝ) * ctx.dt_prime) * ctx.Derivative_t (ctx.t_prime))))) → ((ctx.F = (((ctx.dt ^ 2 - ctx.dt_prime ^ 2) + ((2 : ℝ) * ctx.dt)) - (((2 : ℝ) * ctx.dt_prime) * ctx.Derivative_t (ctx.t_prime))))) → (Node_P_W_source_3 ctx) def DeductiveLink_P_W_4 (ctx : FormalContext) : Prop := (Node_P_W_source_3 ctx) → ((ctx.ds ^ 2 = (ctx.dt ^ 2 - ctx.dt_prime ^ 2))) → ((ctx.F = ((ctx.dt ^ 2 - ctx.dt_prime ^ 2) + (((2 : ℝ) * ctx.dt) * (1 : ℝ)) - (((2 : ℝ) * ctx.dt_prime) * ctx.Derivative_t (ctx.t_prime))))) → ((ctx.F = (((ctx.dt ^ 2 - ctx.dt_prime ^ 2) + ((2 : ℝ) * ctx.dt)) - (((2 : ℝ) * ctx.dt_prime) * ctx.Derivative_t (ctx.t_prime))))) → (Node_P_W_source_4 ctx) def DeductiveLink_P_W_5 (ctx : FormalContext) : Prop := (Node_P_W_source_4 ctx) → ((ctx.ds ^ 2 = (ctx.dt ^ 2 - ctx.dt_prime ^ 2))) → ((ctx.F = ((ctx.dt ^ 2 - ctx.dt_prime ^ 2) + (((2 : ℝ) * ctx.dt) * (1 : ℝ)) - (((2 : ℝ) * ctx.dt_prime) * ctx.Derivative_t (ctx.t_prime))))) → ((ctx.F = (((ctx.dt ^ 2 - ctx.dt_prime ^ 2) + ((2 : ℝ) * ctx.dt)) - (((2 : ℝ) * ctx.dt_prime) * ctx.Derivative_t (ctx.t_prime))))) → (Node_P_W_source_5 ctx) def DeductiveLink_P_W_6 (ctx : FormalContext) : Prop := (Node_P_W_source_5 ctx) → ((ctx.ds ^ 2 = (ctx.dt ^ 2 - ctx.dt_prime ^ 2))) → ((ctx.F = ((ctx.dt ^ 2 - ctx.dt_prime ^ 2) + (((2 : ℝ) * ctx.dt) * (1 : ℝ)) - (((2 : ℝ) * ctx.dt_prime) * ctx.Derivative_t (ctx.t_prime))))) → ((ctx.F = (((ctx.dt ^ 2 - ctx.dt_prime ^ 2) + ((2 : ℝ) * ctx.dt)) - (((2 : ℝ) * ctx.dt_prime) * ctx.Derivative_t (ctx.t_prime))))) → (Node_P_W_source_6 ctx) def DeductiveLink_P_W_7 (ctx : FormalContext) : Prop := (Node_P_W_source_6 ctx) → ((ctx.ds ^ 2 = (ctx.dt ^ 2 - ctx.dt_prime ^ 2))) → ((ctx.F = ((ctx.dt ^ 2 - ctx.dt_prime ^ 2) + (((2 : ℝ) * ctx.dt) * (1 : ℝ)) - (((2 : ℝ) * ctx.dt_prime) * ctx.Derivative_t (ctx.t_prime))))) → ((ctx.F = (((ctx.dt ^ 2 - ctx.dt_prime ^ 2) + ((2 : ℝ) * ctx.dt)) - (((2 : ℝ) * ctx.dt_prime) * ctx.Derivative_t (ctx.t_prime))))) → (Node_P_W_source_7 ctx) def DeductiveLink_P_W_8 (ctx : FormalContext) : Prop := (Node_P_W_source_7 ctx) → ((ctx.ds ^ 2 = (ctx.dt ^ 2 - ctx.dt_prime ^ 2))) → ((ctx.F = ((ctx.dt ^ 2 - ctx.dt_prime ^ 2) + (((2 : ℝ) * ctx.dt) * (1 : ℝ)) - (((2 : ℝ) * ctx.dt_prime) * ctx.Derivative_t (ctx.t_prime))))) → ((ctx.F = (((ctx.dt ^ 2 - ctx.dt_prime ^ 2) + ((2 : ℝ) * ctx.dt)) - (((2 : ℝ) * ctx.dt_prime) * ctx.Derivative_t (ctx.t_prime))))) → (Node_P_W_source_8 ctx) def DeductiveLink_P_W_9 (ctx : FormalContext) : Prop := (Node_P_W_source_8 ctx) → ((ctx.ds ^ 2 = (ctx.dt ^ 2 - ctx.dt_prime ^ 2))) → ((ctx.F = ((ctx.dt ^ 2 - ctx.dt_prime ^ 2) + (((2 : ℝ) * ctx.dt) * (1 : ℝ)) - (((2 : ℝ) * ctx.dt_prime) * ctx.Derivative_t (ctx.t_prime))))) → ((ctx.F = (((ctx.dt ^ 2 - ctx.dt_prime ^ 2) + ((2 : ℝ) * ctx.dt)) - (((2 : ℝ) * ctx.dt_prime) * ctx.Derivative_t (ctx.t_prime))))) → (Node_P_W_source_9 ctx) def DeductiveLink_P_W_10 (ctx : FormalContext) : Prop := (Node_P_W_source_9 ctx) → ((ctx.ds ^ 2 = (ctx.dt ^ 2 - ctx.dt_prime ^ 2))) → ((ctx.F = ((ctx.dt ^ 2 - ctx.dt_prime ^ 2) + (((2 : ℝ) * ctx.dt) * (1 : ℝ)) - (((2 : ℝ) * ctx.dt_prime) * ctx.Derivative_t (ctx.t_prime))))) → ((ctx.F = (((ctx.dt ^ 2 - ctx.dt_prime ^ 2) + ((2 : ℝ) * ctx.dt)) - (((2 : ℝ) * ctx.dt_prime) * ctx.Derivative_t (ctx.t_prime))))) → (Node_P_W_source_10 ctx) def DeductiveLink_P_F2_2 (ctx : FormalContext) : Prop := ((ctx.F = (((ctx.dt ^ 2 - ctx.dt_prime ^ 2) + ((2 : ℝ) * ctx.dt)) - (((2 : ℝ) * ctx.dt_prime) * ctx.Derivative_t (ctx.t_prime))))) → ((ctx.v_onda = ctx.c)) → (Node_P_F2_source_2 ctx) def DeductiveLink_P_Lap_Z_1 (ctx : FormalContext) : Prop := ((ctx.F = (ctx.dt ^ 2 + ((2 : ℝ) * ctx.dt)))) → ((ctx.F = (((2 : ℝ) * ctx.dt) * ((1 : ℝ) + (((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) * ctx.dt))))) → ((((ctx.s_PM) = ((ctx.a + ctx.ib)) ∨ (ctx.s_PM) = ((ctx.a - ctx.ib)))) ∧ (ctx.a = ((1 : ℝ) / (2 : ℝ))) ∧ (((ctx.T_fn_2 ctx.k ctx.rho) = ((((ctx.k : ℝ) + ctx.rho) * ctx.lambda)) ∨ (ctx.T_fn_2 ctx.k ctx.rho) = ((((ctx.k : ℝ) - ctx.rho) * ctx.lambda)))) ∧ (((ctx.Pow_Real (ctx.e) (ctx.ibT)) = (1) ∨ (ctx.Pow_Real (ctx.e) (-ctx.ibT)) = (1))) ∧ (ctx.bT = ((2 : ℝ) * Real.pi)) ∧ (((ctx.b_fn_2 ctx.k ctx.rho) = ((((2 : ℝ) * Real.pi) / (((ctx.k : ℝ) + ctx.rho) * ctx.lambda))) ∨ (ctx.b_fn_2 ctx.k ctx.rho) = ((((2 : ℝ) * Real.pi) / (((ctx.k : ℝ) - ctx.rho) * ctx.lambda))))) ∧ (ctx.rho = 0) ∧ (ctx.b_k = (((2 : ℝ) * Real.pi) / ((ctx.k : ℝ) * ctx.lambda))) ∧ (ctx.Z_VED_to_Lap = ({x | ∃ k : ℕ, (k ∈ {x : ℕ | 0 < x}) ∧ (x = (((((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) : ℂ) + (ctx.i * ((((2 : ℝ) * Real.pi) / ((k : ℝ) * ctx.lambda)) : ℂ)))) ∨ x = (((((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) : ℂ) - (ctx.i * ((((2 : ℝ) * Real.pi) / ((k : ℝ) * ctx.lambda)) : ℂ)))))}))) → (Node_P_Lap_Z_source_1 ctx) def DeductiveNode_D_L (ctx : FormalContext) : Prop := ((ctx.E = (ctx.hc / ctx.lambda)) ∧ (ctx.E = ctx.Mc ^ 2) ∧ (ctx.Mc ^ 2 = (ctx.hc / ctx.lambda)) ∧ (ctx.lambda = (ctx.h / ctx.Mc))) → ((ctx.L = ((ctx.n : ℝ) * ctx.lambda)) ∧ ((ctx.n : ℝ) ∈ {x : ℝ | 0 < x})) def DeductiveNode_D_rho (ctx : FormalContext) : Prop := ((ctx.E = (ctx.hc / ctx.lambda)) ∧ (ctx.E = ctx.Mc ^ 2) ∧ (ctx.Mc ^ 2 = (ctx.hc / ctx.lambda)) ∧ (ctx.lambda = (ctx.h / ctx.Mc))) → ((ctx.rho = (ctx.dist_fn_2 ctx.n {x : ℕ | 0 < x})) ∧ ((0 ≤ ctx.rho) ∧ (ctx.rho ≤ ((1 : ℝ) / (2 : ℝ)))) ∧ ((((ctx.n) = (((ctx.k : ℝ) + ctx.rho)) ∨ (ctx.n) = (((ctx.k : ℝ) - ctx.rho)))) ∧ (ctx.k ∈ {x : ℕ | 0 < x}) ∧ ((0 ≤ ctx.rho) ∧ (ctx.rho ≤ ((1 : ℝ) / (2 : ℝ))))) ∧ (((ctx.L_fn_2 ctx.k ctx.rho) = ((((ctx.k : ℝ) + ctx.rho) * ctx.lambda)) ∨ (ctx.L_fn_2 ctx.k ctx.rho) = ((((ctx.k : ℝ) - ctx.rho) * ctx.lambda)))) ∧ (((ctx.R_VED_fn_2 ctx.k ctx.rho) = (((((ctx.k : ℝ) + ctx.rho) * ctx.lambda) / ((2 : ℝ) * Real.pi))) ∨ (ctx.R_VED_fn_2 ctx.k ctx.rho) = (((((ctx.k : ℝ) - ctx.rho) * ctx.lambda) / ((2 : ℝ) * Real.pi)))))) def DeductiveNode_D_rho_R (ctx : FormalContext) : Prop := ((((ctx.z) = ((ctx.a + ctx.ib)) ∨ (ctx.z) = ((ctx.a - ctx.ib)))) ∧ ((ctx.zeta ctx.s) = ctx.InfiniteSum_Nat_Complex (1) (fun n : ℕ => ((1 : ℂ) / ctx.Pow_Complex ((n : ℂ)) (ctx.s) : ℂ))) ∧ (ctx.s = 1) ∧ (ctx.Z_Rim_triv = ({x | ∃ m : ℕ, (m ∈ {x : ℕ | 0 < x}) ∧ (x = ((-2 * (m : ℤ))))})) ∧ (ctx.Z_Rim_nt = ({z | ((z ∈ (Set.univ : Set ℂ)) ∧ ((ctx.zeta z) = 0)) ∧ ((0 < (Complex.re z)) ∧ ((Complex.re z) < 1))})) ∧ ((((ctx.z) = ((ctx.a + ctx.ib)) ∨ (ctx.z) = ((ctx.a - ctx.ib)))) ∧ ((0 < ctx.a) ∧ (ctx.a < 1))) ∧ (ctx.a = ((1 : ℝ) / (2 : ℝ)))) → (((0 < ctx.a) ∧ (ctx.a < 1)) ∧ ((0 ≤ ctx.rho_R) ∧ (ctx.rho_R < ((1 : ℝ) / (2 : ℝ)))) ∧ (ctx.a = (((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) + (ctx.varepsilon * ctx.rho_R))) ∧ (((ctx.z_varepsilon_PM) = (((((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) + (ctx.varepsilon * ctx.rho_R)) + ctx.ib)) ∨ (ctx.z_varepsilon_PM) = (((((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) + (ctx.varepsilon * ctx.rho_R)) - ctx.ib)))) ∧ (ctx.rho_R = (abs ((Complex.re ctx.z) - ((1 : ℝ) / (2 : ℝ)))))) def DeductiveNode_D_fInv (ctx : FormalContext) : Prop := ((ctx.U_VED_rho = ({x | ctx.rho_VED_fn_1 x ∈ Set.Icc 0 ((1 : ℝ) / (2 : ℝ))})) ∧ (ctx.U_Rim_rho = ({z | ctx.rho_R_fn_1 z ∈ Set.Icc 0 ((1 : ℝ) / (2 : ℝ))})) ∧ (((∀ x_map : ℝ, x_map ∈ ctx.U_VED_rho → (ctx.f_fn_1 x_map) ∈ ctx.U_Rim_rho)) ∧ (∀ x_all : ℝ, x_all ∈ ctx.U_VED_rho → ((ctx.rho_R_fn_1 (ctx.f_fn_1 x_all)) = (ctx.rho_VED_fn_1 x_all))))) → (((∀ x_map : ℂ, x_map ∈ ctx.U_Rim_rho → (ctx.f_inv_fn_1 x_map) ∈ ctx.U_VED_rho)) ∧ ((∀ x_all : ℝ, x_all ∈ ctx.U_VED_rho → ((ctx.f_inv_fn_1 (ctx.f_fn_1 x_all)) = x_all)) ∧ (∀ z_all : ℂ, z_all ∈ ctx.U_Rim_rho → ((ctx.f_fn_1 (ctx.f_inv_fn_1 z_all)) = z_all)))) def DeductiveNode_T_ISO (ctx : FormalContext) : Prop := ((ctx.U_VED_rho = ({x | ctx.rho_VED_fn_1 x ∈ Set.Icc 0 ((1 : ℝ) / (2 : ℝ))})) ∧ (ctx.U_Rim_rho = ({z | ctx.rho_R_fn_1 z ∈ Set.Icc 0 ((1 : ℝ) / (2 : ℝ))})) ∧ (((∀ x_map : ℝ, x_map ∈ ctx.U_VED_rho → (ctx.f_fn_1 x_map) ∈ ctx.U_Rim_rho)) ∧ (∀ x_all : ℝ, x_all ∈ ctx.U_VED_rho → ((ctx.rho_R_fn_1 (ctx.f_fn_1 x_all)) = (ctx.rho_VED_fn_1 x_all))))) → (((∀ x_map : ℂ, x_map ∈ ctx.U_Rim_rho → (ctx.f_inv_fn_1 x_map) ∈ ctx.U_VED_rho)) ∧ ((∀ x_all : ℝ, x_all ∈ ctx.U_VED_rho → ((ctx.f_inv_fn_1 (ctx.f_fn_1 x_all)) = x_all)) ∧ (∀ z_all : ℂ, z_all ∈ ctx.U_Rim_rho → ((ctx.f_fn_1 (ctx.f_inv_fn_1 z_all)) = z_all)))) → (((∃ h : ↥(ctx.U_VED_rho) ≃ ↥(ctx.U_Rim_rho), (∀ x_iso : ↥(ctx.U_VED_rho), (h x_iso).val = ctx.f_fn_1 x_iso.val) ∧ (∀ z_iso : ↥(ctx.U_Rim_rho), (h.symm z_iso).val = ctx.f_inv_fn_1 z_iso.val) ∧ (∀ x_all : ℝ, x_all ∈ ctx.U_VED_rho → ((ctx.rho_R_fn_1 (ctx.f_fn_1 x_all)) = (ctx.rho_VED_fn_1 x_all))) ∧ (∀ z_all : ℂ, z_all ∈ ctx.U_Rim_rho → ((ctx.rho_VED_fn_1 (ctx.f_inv_fn_1 z_all)) = (ctx.rho_R_fn_1 z_all)))))) def DeductiveNode_P_ST (ctx : FormalContext) : Prop := (True) → ((ctx.dt_prime = (ctx.dt * (ctx.sqrt ((1 : ℝ) - (ctx.v ^ 2 / ctx.c ^ 2))))) ∧ (ctx.v = ctx.Derivative_t (ctx.DerivativeSubject_s)) ∧ (ctx.c = 1) ∧ (ctx.dt_prime ^ 2 = (ctx.dt ^ 2 - ctx.ds ^ 2))) → ((ctx.ds ^ 2 = (ctx.dt ^ 2 - ctx.dt_prime ^ 2))) def DeductiveNode_P_RHO_ISO (ctx : FormalContext) : Prop := (((∃ h : ↥(ctx.U_VED_rho) ≃ ↥(ctx.U_Rim_rho), (∀ x_iso : ↥(ctx.U_VED_rho), (h x_iso).val = ctx.f_fn_1 x_iso.val) ∧ (∀ z_iso : ↥(ctx.U_Rim_rho), (h.symm z_iso).val = ctx.f_inv_fn_1 z_iso.val) ∧ (∀ x_all : ℝ, x_all ∈ ctx.U_VED_rho → ((ctx.rho_R_fn_1 (ctx.f_fn_1 x_all)) = (ctx.rho_VED_fn_1 x_all))) ∧ (∀ z_all : ℂ, z_all ∈ ctx.U_Rim_rho → ((ctx.rho_VED_fn_1 (ctx.f_inv_fn_1 z_all)) = (ctx.rho_R_fn_1 z_all)))))) → ((ctx.U_VED_rho = ({x | ctx.rho_VED_fn_1 x ∈ Set.Icc 0 ((1 : ℝ) / (2 : ℝ))})) ∧ (ctx.U_Rim_rho = ({z | ctx.rho_R_fn_1 z ∈ Set.Icc 0 ((1 : ℝ) / (2 : ℝ))})) ∧ (((∀ x_map : ℝ, x_map ∈ ctx.U_VED_rho → (ctx.f_fn_1 x_map) ∈ ctx.U_Rim_rho)) ∧ (∀ x_all : ℝ, x_all ∈ ctx.U_VED_rho → ((ctx.rho_R_fn_1 (ctx.f_fn_1 x_all)) = (ctx.rho_VED_fn_1 x_all))))) → (((∀ x_all : ℝ, x_all ∈ ctx.U_VED_rho → ((ctx.rho_R_fn_1 (ctx.f_fn_1 x_all)) = (ctx.rho_VED_fn_1 x_all))) ∧ (∀ z_all : ℂ, z_all ∈ ctx.U_Rim_rho → ((ctx.rho_VED_fn_1 (ctx.f_inv_fn_1 z_all)) = (ctx.rho_R_fn_1 z_all))))) def DeductiveNode_P_v (ctx : FormalContext) : Prop := (True) → ((ctx.dt_prime = (ctx.dt * (ctx.sqrt ((1 : ℝ) - (ctx.v ^ 2 / ctx.c ^ 2))))) ∧ (ctx.v = ctx.Derivative_t (ctx.DerivativeSubject_s)) ∧ (ctx.c = 1) ∧ (ctx.dt_prime ^ 2 = (ctx.dt ^ 2 - ctx.ds ^ 2))) → ((ctx.ds ^ 2 = (ctx.dt ^ 2 - ctx.dt_prime ^ 2))) → ((ctx.Derivative_t (ctx.DerivativeSubject_s) = ctx.v)) def DeductiveNode_P_ST_2 (ctx : FormalContext) : Prop := ((ctx.ds ^ 2 = (ctx.dt ^ 2 - ctx.dt_prime ^ 2))) → ((ctx.dt_prime = (ctx.dt * (ctx.sqrt ((1 : ℝ) - (ctx.v ^ 2 / ctx.c ^ 2))))) ∧ (ctx.v = ctx.Derivative_t (ctx.DerivativeSubject_s)) ∧ (ctx.c = 1) ∧ (ctx.dt_prime ^ 2 = (ctx.dt ^ 2 - ctx.ds ^ 2))) → ((ctx.ds ^ 2 = (ctx.dt ^ 2 - ctx.dt_prime ^ 2))) def DeductiveNode_P_RIM_S (ctx : FormalContext) : Prop := (((∃ h : ↥(ctx.U_VED_rho) ≃ ↥(ctx.U_Rim_rho), (∀ x_iso : ↥(ctx.U_VED_rho), (h x_iso).val = ctx.f_fn_1 x_iso.val) ∧ (∀ z_iso : ↥(ctx.U_Rim_rho), (h.symm z_iso).val = ctx.f_inv_fn_1 z_iso.val) ∧ (∀ x_all : ℝ, x_all ∈ ctx.U_VED_rho → ((ctx.rho_R_fn_1 (ctx.f_fn_1 x_all)) = (ctx.rho_VED_fn_1 x_all))) ∧ (∀ z_all : ℂ, z_all ∈ ctx.U_Rim_rho → ((ctx.rho_VED_fn_1 (ctx.f_inv_fn_1 z_all)) = (ctx.rho_R_fn_1 z_all)))))) → (((∀ x_all : ℝ, x_all ∈ ctx.U_VED_rho → ((ctx.rho_R_fn_1 (ctx.f_fn_1 x_all)) = (ctx.rho_VED_fn_1 x_all))) ∧ (∀ z_all : ℂ, z_all ∈ ctx.U_Rim_rho → ((ctx.rho_VED_fn_1 (ctx.f_inv_fn_1 z_all)) = (ctx.rho_R_fn_1 z_all))))) → ((∀ z : ℂ, (z ∈ ctx.U_Rim) → ((Derived_Stable_Rim ctx z) ↔ ((ctx.rho_R_fn_1 z) = 0)))) def DeductiveNode_P_a (ctx : FormalContext) : Prop := ((ctx.dt_prime = (ctx.dt * (ctx.sqrt ((1 : ℝ) - (ctx.v ^ 2 / ctx.c ^ 2))))) ∧ (ctx.v = ctx.Derivative_t (ctx.DerivativeSubject_s)) ∧ (ctx.c = 1) ∧ (ctx.dt_prime ^ 2 = (ctx.dt ^ 2 - ctx.ds ^ 2))) → ((ctx.ds ^ 2 = (ctx.dt ^ 2 - ctx.dt_prime ^ 2))) → ((ctx.Derivative_t (ctx.DerivativeSubject_s) = ctx.v)) → ((((ctx.z) = ((ctx.a + ctx.ib)) ∨ (ctx.z) = ((ctx.a - ctx.ib)))) ∧ ((ctx.zeta ctx.s) = ctx.InfiniteSum_Nat_Complex (1) (fun n : ℕ => ((1 : ℂ) / ctx.Pow_Complex ((n : ℂ)) (ctx.s) : ℂ))) ∧ (ctx.s = 1) ∧ (ctx.Z_Rim_triv = ({x | ∃ m : ℕ, (m ∈ {x : ℕ | 0 < x}) ∧ (x = ((-2 * (m : ℤ))))})) ∧ (ctx.Z_Rim_nt = ({z | ((z ∈ (Set.univ : Set ℂ)) ∧ ((ctx.zeta z) = 0)) ∧ ((0 < (Complex.re z)) ∧ ((Complex.re z) < 1))})) ∧ ((((ctx.z) = ((ctx.a + ctx.ib)) ∨ (ctx.z) = ((ctx.a - ctx.ib)))) ∧ ((0 < ctx.a) ∧ (ctx.a < 1))) ∧ (ctx.a = ((1 : ℝ) / (2 : ℝ)))) → (((0 < ctx.a) ∧ (ctx.a < 1)) ∧ ((0 ≤ ctx.rho_R) ∧ (ctx.rho_R < ((1 : ℝ) / (2 : ℝ)))) ∧ (ctx.a = (((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) + (ctx.varepsilon * ctx.rho_R))) ∧ (((ctx.z_varepsilon_PM) = (((((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) + (ctx.varepsilon * ctx.rho_R)) + ctx.ib)) ∨ (ctx.z_varepsilon_PM) = (((((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) + (ctx.varepsilon * ctx.rho_R)) - ctx.ib)))) ∧ (ctx.rho_R = (abs ((Complex.re ctx.z) - ((1 : ℝ) / (2 : ℝ)))))) → (((ctx.Derivative_t (ctx.Derivative_t (ctx.DerivativeSubject_s)) = ctx.Derivative_t (ctx.v)) ∧ (ctx.Derivative_t (ctx.v) = ctx.a))) def DeductiveNode_P_VED_E (ctx : FormalContext) : Prop := ((ctx.k ∈ {x : ℕ | 0 < x})) → ((ctx.rho = (ctx.dist_fn_2 ctx.n {x : ℕ | 0 < x})) ∧ ((0 ≤ ctx.rho) ∧ (ctx.rho ≤ ((1 : ℝ) / (2 : ℝ)))) ∧ ((((ctx.n) = (((ctx.k : ℝ) + ctx.rho)) ∨ (ctx.n) = (((ctx.k : ℝ) - ctx.rho)))) ∧ (ctx.k ∈ {x : ℕ | 0 < x}) ∧ ((0 ≤ ctx.rho) ∧ (ctx.rho ≤ ((1 : ℝ) / (2 : ℝ))))) ∧ (((ctx.L_fn_2 ctx.k ctx.rho) = ((((ctx.k : ℝ) + ctx.rho) * ctx.lambda)) ∨ (ctx.L_fn_2 ctx.k ctx.rho) = ((((ctx.k : ℝ) - ctx.rho) * ctx.lambda)))) ∧ (((ctx.R_VED_fn_2 ctx.k ctx.rho) = (((((ctx.k : ℝ) + ctx.rho) * ctx.lambda) / ((2 : ℝ) * Real.pi))) ∨ (ctx.R_VED_fn_2 ctx.k ctx.rho) = (((((ctx.k : ℝ) - ctx.rho) * ctx.lambda) / ((2 : ℝ) * Real.pi)))))) → ((ctx.E = (ctx.hc / ctx.lambda)) ∧ (ctx.E = ctx.Mc ^ 2) ∧ (ctx.Mc ^ 2 = (ctx.hc / ctx.lambda)) ∧ (ctx.lambda = (ctx.h / ctx.Mc))) → ((ctx.L = ((ctx.n : ℝ) * ctx.lambda)) ∧ ((ctx.n : ℝ) ∈ {x : ℝ | 0 < x})) → ((((((ctx.rho = 0) ↔ ((ctx.n = ctx.k) ∧ (ctx.k ∈ {x : ℕ | 0 < x}))) ∧ (((ctx.n = ctx.k) ∧ (ctx.k ∈ {x : ℕ | 0 < x})) ↔ (ctx.L = ((ctx.k : ℝ) * ctx.lambda)))) ∧ ((ctx.L = ((ctx.k : ℝ) * ctx.lambda)) ↔ Derived_Text_cierre_exacto_en_fase ctx)) ∧ (Derived_Text_cierre_exacto_en_fase ctx ↔ Derived_Text_estado_estable ctx))) def DeductiveNode_P_VED_I (ctx : FormalContext) : Prop := ((ctx.k ∈ {x : ℕ | 0 < x})) → ((ctx.rho = (ctx.dist_fn_2 ctx.n {x : ℕ | 0 < x})) ∧ ((0 ≤ ctx.rho) ∧ (ctx.rho ≤ ((1 : ℝ) / (2 : ℝ)))) ∧ ((((ctx.n) = (((ctx.k : ℝ) + ctx.rho)) ∨ (ctx.n) = (((ctx.k : ℝ) - ctx.rho)))) ∧ (ctx.k ∈ {x : ℕ | 0 < x}) ∧ ((0 ≤ ctx.rho) ∧ (ctx.rho ≤ ((1 : ℝ) / (2 : ℝ))))) ∧ (((ctx.L_fn_2 ctx.k ctx.rho) = ((((ctx.k : ℝ) + ctx.rho) * ctx.lambda)) ∨ (ctx.L_fn_2 ctx.k ctx.rho) = ((((ctx.k : ℝ) - ctx.rho) * ctx.lambda)))) ∧ (((ctx.R_VED_fn_2 ctx.k ctx.rho) = (((((ctx.k : ℝ) + ctx.rho) * ctx.lambda) / ((2 : ℝ) * Real.pi))) ∨ (ctx.R_VED_fn_2 ctx.k ctx.rho) = (((((ctx.k : ℝ) - ctx.rho) * ctx.lambda) / ((2 : ℝ) * Real.pi)))))) → ((((((ctx.rho = 0) ↔ ((ctx.n = ctx.k) ∧ (ctx.k ∈ {x : ℕ | 0 < x}))) ∧ (((ctx.n = ctx.k) ∧ (ctx.k ∈ {x : ℕ | 0 < x})) ↔ (ctx.L = ((ctx.k : ℝ) * ctx.lambda)))) ∧ ((ctx.L = ((ctx.k : ℝ) * ctx.lambda)) ↔ Derived_Text_cierre_exacto_en_fase ctx)) ∧ (Derived_Text_cierre_exacto_en_fase ctx ↔ Derived_Text_estado_estable ctx))) → ((((0 < ctx.rho) ∧ (ctx.rho ≤ ((1 : ℝ) / (2 : ℝ)))) ↔ Derived_Text_cierre_no_estable ctx)) def DeductiveNode_P_VED_E_2 (ctx : FormalContext) : Prop := ((((((ctx.rho = 0) ↔ ((ctx.n = ctx.k) ∧ (ctx.k ∈ {x : ℕ | 0 < x}))) ∧ (((ctx.n = ctx.k) ∧ (ctx.k ∈ {x : ℕ | 0 < x})) ↔ (ctx.L = ((ctx.k : ℝ) * ctx.lambda)))) ∧ ((ctx.L = ((ctx.k : ℝ) * ctx.lambda)) ↔ Derived_Text_cierre_exacto_en_fase ctx)) ∧ (Derived_Text_cierre_exacto_en_fase ctx ↔ Derived_Text_estado_estable ctx))) → ((ctx.rho = (ctx.dist_fn_2 ctx.n {x : ℕ | 0 < x})) ∧ ((0 ≤ ctx.rho) ∧ (ctx.rho ≤ ((1 : ℝ) / (2 : ℝ)))) ∧ ((((ctx.n) = (((ctx.k : ℝ) + ctx.rho)) ∨ (ctx.n) = (((ctx.k : ℝ) - ctx.rho)))) ∧ (ctx.k ∈ {x : ℕ | 0 < x}) ∧ ((0 ≤ ctx.rho) ∧ (ctx.rho ≤ ((1 : ℝ) / (2 : ℝ))))) ∧ (((ctx.L_fn_2 ctx.k ctx.rho) = ((((ctx.k : ℝ) + ctx.rho) * ctx.lambda)) ∨ (ctx.L_fn_2 ctx.k ctx.rho) = ((((ctx.k : ℝ) - ctx.rho) * ctx.lambda)))) ∧ (((ctx.R_VED_fn_2 ctx.k ctx.rho) = (((((ctx.k : ℝ) + ctx.rho) * ctx.lambda) / ((2 : ℝ) * Real.pi))) ∨ (ctx.R_VED_fn_2 ctx.k ctx.rho) = (((((ctx.k : ℝ) - ctx.rho) * ctx.lambda) / ((2 : ℝ) * Real.pi)))))) → (((ctx.rho = 0) ↔ Derived_Text_estado_estable ctx)) def DeductiveNode_P_VR_rho (ctx : FormalContext) : Prop := ((((((ctx.rho = 0) ↔ ((ctx.n = ctx.k) ∧ (ctx.k ∈ {x : ℕ | 0 < x}))) ∧ (((ctx.n = ctx.k) ∧ (ctx.k ∈ {x : ℕ | 0 < x})) ↔ (ctx.L = ((ctx.k : ℝ) * ctx.lambda)))) ∧ ((ctx.L = ((ctx.k : ℝ) * ctx.lambda)) ↔ Derived_Text_cierre_exacto_en_fase ctx)) ∧ (Derived_Text_cierre_exacto_en_fase ctx ↔ Derived_Text_estado_estable ctx))) → ((((ctx.z) = ((ctx.a + ctx.ib)) ∨ (ctx.z) = ((ctx.a - ctx.ib)))) ∧ ((ctx.zeta ctx.s) = ctx.InfiniteSum_Nat_Complex (1) (fun n : ℕ => ((1 : ℂ) / ctx.Pow_Complex ((n : ℂ)) (ctx.s) : ℂ))) ∧ (ctx.s = 1) ∧ (ctx.Z_Rim_triv = ({x | ∃ m : ℕ, (m ∈ {x : ℕ | 0 < x}) ∧ (x = ((-2 * (m : ℤ))))})) ∧ (ctx.Z_Rim_nt = ({z | ((z ∈ (Set.univ : Set ℂ)) ∧ ((ctx.zeta z) = 0)) ∧ ((0 < (Complex.re z)) ∧ ((Complex.re z) < 1))})) ∧ ((((ctx.z) = ((ctx.a + ctx.ib)) ∨ (ctx.z) = ((ctx.a - ctx.ib)))) ∧ ((0 < ctx.a) ∧ (ctx.a < 1))) ∧ (ctx.a = ((1 : ℝ) / (2 : ℝ)))) → (((0 < ctx.a) ∧ (ctx.a < 1)) ∧ ((0 ≤ ctx.rho_R) ∧ (ctx.rho_R < ((1 : ℝ) / (2 : ℝ)))) ∧ (ctx.a = (((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) + (ctx.varepsilon * ctx.rho_R))) ∧ (((ctx.z_varepsilon_PM) = (((((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) + (ctx.varepsilon * ctx.rho_R)) + ctx.ib)) ∨ (ctx.z_varepsilon_PM) = (((((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) + (ctx.varepsilon * ctx.rho_R)) - ctx.ib)))) ∧ (ctx.rho_R = (abs ((Complex.re ctx.z) - ((1 : ℝ) / (2 : ℝ)))))) → (((ctx.rho_VED = ctx.rho_R) ∧ (ctx.rho_R = (abs (ctx.a - ((1 : ℝ) / (2 : ℝ))))))) def DeductiveNode_P_VED_K_E (ctx : FormalContext) : Prop := ((ctx.rho = (ctx.dist_fn_2 ctx.n {x : ℕ | 0 < x})) ∧ ((0 ≤ ctx.rho) ∧ (ctx.rho ≤ ((1 : ℝ) / (2 : ℝ)))) ∧ ((((ctx.n) = (((ctx.k : ℝ) + ctx.rho)) ∨ (ctx.n) = (((ctx.k : ℝ) - ctx.rho)))) ∧ (ctx.k ∈ {x : ℕ | 0 < x}) ∧ ((0 ≤ ctx.rho) ∧ (ctx.rho ≤ ((1 : ℝ) / (2 : ℝ))))) ∧ (((ctx.L_fn_2 ctx.k ctx.rho) = ((((ctx.k : ℝ) + ctx.rho) * ctx.lambda)) ∨ (ctx.L_fn_2 ctx.k ctx.rho) = ((((ctx.k : ℝ) - ctx.rho) * ctx.lambda)))) ∧ (((ctx.R_VED_fn_2 ctx.k ctx.rho) = (((((ctx.k : ℝ) + ctx.rho) * ctx.lambda) / ((2 : ℝ) * Real.pi))) ∨ (ctx.R_VED_fn_2 ctx.k ctx.rho) = (((((ctx.k : ℝ) - ctx.rho) * ctx.lambda) / ((2 : ℝ) * Real.pi)))))) → ((((((ctx.rho = 0) ↔ ((ctx.n = ctx.k) ∧ (ctx.k ∈ {x : ℕ | 0 < x}))) ∧ (((ctx.n = ctx.k) ∧ (ctx.k ∈ {x : ℕ | 0 < x})) ↔ (ctx.L = ((ctx.k : ℝ) * ctx.lambda)))) ∧ ((ctx.L = ((ctx.k : ℝ) * ctx.lambda)) ↔ Derived_Text_cierre_exacto_en_fase ctx)) ∧ (Derived_Text_cierre_exacto_en_fase ctx ↔ Derived_Text_estado_estable ctx))) → ((((0 < ctx.rho) ∧ (ctx.rho ≤ ((1 : ℝ) / (2 : ℝ)))) ↔ Derived_Text_cierre_no_estable ctx)) → ((((ctx.rho = 0)) → (ctx.mathcal_E_VED = ({x | ∃ k : ℕ, (k ∈ {x : ℕ | 0 < x}) ∧ (x = ((k, 0)))})))) def DeductiveNode_P_VR_E (ctx : FormalContext) : Prop := (((ctx.rho_VED = ctx.rho_R) ∧ (ctx.rho_R = (abs (ctx.a - ((1 : ℝ) / (2 : ℝ))))))) → ((((ctx.z) = ((ctx.a + ctx.ib)) ∨ (ctx.z) = ((ctx.a - ctx.ib)))) ∧ ((ctx.zeta ctx.s) = ctx.InfiniteSum_Nat_Complex (1) (fun n : ℕ => ((1 : ℂ) / ctx.Pow_Complex ((n : ℂ)) (ctx.s) : ℂ))) ∧ (ctx.s = 1) ∧ (ctx.Z_Rim_triv = ({x | ∃ m : ℕ, (m ∈ {x : ℕ | 0 < x}) ∧ (x = ((-2 * (m : ℤ))))})) ∧ (ctx.Z_Rim_nt = ({z | ((z ∈ (Set.univ : Set ℂ)) ∧ ((ctx.zeta z) = 0)) ∧ ((0 < (Complex.re z)) ∧ ((Complex.re z) < 1))})) ∧ ((((ctx.z) = ((ctx.a + ctx.ib)) ∨ (ctx.z) = ((ctx.a - ctx.ib)))) ∧ ((0 < ctx.a) ∧ (ctx.a < 1))) ∧ (ctx.a = ((1 : ℝ) / (2 : ℝ)))) → (((0 < ctx.a) ∧ (ctx.a < 1)) ∧ ((0 ≤ ctx.rho_R) ∧ (ctx.rho_R < ((1 : ℝ) / (2 : ℝ)))) ∧ (ctx.a = (((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) + (ctx.varepsilon * ctx.rho_R))) ∧ (((ctx.z_varepsilon_PM) = (((((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) + (ctx.varepsilon * ctx.rho_R)) + ctx.ib)) ∨ (ctx.z_varepsilon_PM) = (((((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) + (ctx.varepsilon * ctx.rho_R)) - ctx.ib)))) ∧ (ctx.rho_R = (abs ((Complex.re ctx.z) - ((1 : ℝ) / (2 : ℝ)))))) → ((Derived_Text_estado_estable ctx ↔ ((abs (ctx.a - ((1 : ℝ) / (2 : ℝ)))) = 0))) def DeductiveNode_P_Z (ctx : FormalContext) : Prop := ((∀ z : ℂ, (z ∈ ctx.U_Rim) → ((Derived_Stable_Rim ctx z) ↔ ((ctx.rho_R_fn_1 z) = 0)))) → (((ctx.rho_VED = ctx.rho_R) ∧ (ctx.rho_R = (abs (ctx.a - ((1 : ℝ) / (2 : ℝ))))))) → ((Derived_Text_estado_estable ctx ↔ ((abs (ctx.a - ((1 : ℝ) / (2 : ℝ)))) = 0))) → ((((ctx.z) = ((ctx.a + ctx.ib)) ∨ (ctx.z) = ((ctx.a - ctx.ib)))) ∧ ((ctx.zeta ctx.s) = ctx.InfiniteSum_Nat_Complex (1) (fun n : ℕ => ((1 : ℂ) / ctx.Pow_Complex ((n : ℂ)) (ctx.s) : ℂ))) ∧ (ctx.s = 1) ∧ (ctx.Z_Rim_triv = ({x | ∃ m : ℕ, (m ∈ {x : ℕ | 0 < x}) ∧ (x = ((-2 * (m : ℤ))))})) ∧ (ctx.Z_Rim_nt = ({z | ((z ∈ (Set.univ : Set ℂ)) ∧ ((ctx.zeta z) = 0)) ∧ ((0 < (Complex.re z)) ∧ ((Complex.re z) < 1))})) ∧ ((((ctx.z) = ((ctx.a + ctx.ib)) ∨ (ctx.z) = ((ctx.a - ctx.ib)))) ∧ ((0 < ctx.a) ∧ (ctx.a < 1))) ∧ (ctx.a = ((1 : ℝ) / (2 : ℝ)))) → (((0 < ctx.a) ∧ (ctx.a < 1)) ∧ ((0 ≤ ctx.rho_R) ∧ (ctx.rho_R < ((1 : ℝ) / (2 : ℝ)))) ∧ (ctx.a = (((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) + (ctx.varepsilon * ctx.rho_R))) ∧ (((ctx.z_varepsilon_PM) = (((((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) + (ctx.varepsilon * ctx.rho_R)) + ctx.ib)) ∨ (ctx.z_varepsilon_PM) = (((((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) + (ctx.varepsilon * ctx.rho_R)) - ctx.ib)))) ∧ (ctx.rho_R = (abs ((Complex.re ctx.z) - ((1 : ℝ) / (2 : ℝ)))))) → ((∀ z : ℂ, (z ∈ ctx.Z_Rim_nt) → (((ctx.zeta z) = 0) ∧ (ctx.rho_R = ctx.rho_VED)))) def DeductiveNode_P_VED_R_C (ctx : FormalContext) : Prop := ((((0 < ctx.rho) ∧ (ctx.rho ≤ ((1 : ℝ) / (2 : ℝ)))) ↔ Derived_Text_cierre_no_estable ctx)) → ((((ctx.rho = 0)) → (ctx.mathcal_E_VED = ({x | ∃ k : ℕ, (k ∈ {x : ℕ | 0 < x}) ∧ (x = ((k, 0)))})))) → ((ctx.rho = (ctx.dist_fn_2 ctx.n {x : ℕ | 0 < x})) ∧ ((0 ≤ ctx.rho) ∧ (ctx.rho ≤ ((1 : ℝ) / (2 : ℝ)))) ∧ ((((ctx.n) = (((ctx.k : ℝ) + ctx.rho)) ∨ (ctx.n) = (((ctx.k : ℝ) - ctx.rho)))) ∧ (ctx.k ∈ {x : ℕ | 0 < x}) ∧ ((0 ≤ ctx.rho) ∧ (ctx.rho ≤ ((1 : ℝ) / (2 : ℝ))))) ∧ (((ctx.L_fn_2 ctx.k ctx.rho) = ((((ctx.k : ℝ) + ctx.rho) * ctx.lambda)) ∨ (ctx.L_fn_2 ctx.k ctx.rho) = ((((ctx.k : ℝ) - ctx.rho) * ctx.lambda)))) ∧ (((ctx.R_VED_fn_2 ctx.k ctx.rho) = (((((ctx.k : ℝ) + ctx.rho) * ctx.lambda) / ((2 : ℝ) * Real.pi))) ∨ (ctx.R_VED_fn_2 ctx.k ctx.rho) = (((((ctx.k : ℝ) - ctx.rho) * ctx.lambda) / ((2 : ℝ) * Real.pi)))))) → (((0 ≤ ctx.rho) ∧ (ctx.rho ≤ ((1 : ℝ) / (2 : ℝ))))) def DeductiveNode_T_RIEMANN (ctx : FormalContext) : Prop := (((∃ h : ↥(ctx.U_VED_rho) ≃ ↥(ctx.U_Rim_rho), (∀ x_iso : ↥(ctx.U_VED_rho), (h x_iso).val = ctx.f_fn_1 x_iso.val) ∧ (∀ z_iso : ↥(ctx.U_Rim_rho), (h.symm z_iso).val = ctx.f_inv_fn_1 z_iso.val) ∧ (∀ x_all : ℝ, x_all ∈ ctx.U_VED_rho → ((ctx.rho_R_fn_1 (ctx.f_fn_1 x_all)) = (ctx.rho_VED_fn_1 x_all))) ∧ (∀ z_all : ℂ, z_all ∈ ctx.U_Rim_rho → ((ctx.rho_VED_fn_1 (ctx.f_inv_fn_1 z_all)) = (ctx.rho_R_fn_1 z_all)))))) → (((∀ x_all : ℝ, x_all ∈ ctx.U_VED_rho → ((ctx.rho_R_fn_1 (ctx.f_fn_1 x_all)) = (ctx.rho_VED_fn_1 x_all))) ∧ (∀ z_all : ℂ, z_all ∈ ctx.U_Rim_rho → ((ctx.rho_VED_fn_1 (ctx.f_inv_fn_1 z_all)) = (ctx.rho_R_fn_1 z_all))))) → ((∀ z : ℂ, (z ∈ ctx.U_Rim) → ((Derived_Stable_Rim ctx z) ↔ ((ctx.rho_R_fn_1 z) = 0)))) → ((∀ z : ℂ, (z ∈ ctx.Z_Rim_nt) → (((ctx.zeta z) = 0) ∧ (ctx.rho_R = ctx.rho_VED)))) → (((0 < ctx.a) ∧ (ctx.a < 1)) ∧ ((0 ≤ ctx.rho_R) ∧ (ctx.rho_R < ((1 : ℝ) / (2 : ℝ)))) ∧ (ctx.a = (((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) + (ctx.varepsilon * ctx.rho_R))) ∧ (((ctx.z_varepsilon_PM) = (((((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) + (ctx.varepsilon * ctx.rho_R)) + ctx.ib)) ∨ (ctx.z_varepsilon_PM) = (((((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) + (ctx.varepsilon * ctx.rho_R)) - ctx.ib)))) ∧ (ctx.rho_R = (abs ((Complex.re ctx.z) - ((1 : ℝ) / (2 : ℝ)))))) → (((ctx.rho_VED = ctx.rho_R) ∧ (ctx.rho_R = (abs (ctx.a - ((1 : ℝ) / (2 : ℝ))))))) → ((((ctx.z) = ((ctx.a + ctx.ib)) ∨ (ctx.z) = ((ctx.a - ctx.ib)))) ∧ ((ctx.zeta ctx.s) = ctx.InfiniteSum_Nat_Complex (1) (fun n : ℕ => ((1 : ℂ) / ctx.Pow_Complex ((n : ℂ)) (ctx.s) : ℂ))) ∧ (ctx.s = 1) ∧ (ctx.Z_Rim_triv = ({x | ∃ m : ℕ, (m ∈ {x : ℕ | 0 < x}) ∧ (x = ((-2 * (m : ℤ))))})) ∧ (ctx.Z_Rim_nt = ({z | ((z ∈ (Set.univ : Set ℂ)) ∧ ((ctx.zeta z) = 0)) ∧ ((0 < (Complex.re z)) ∧ ((Complex.re z) < 1))})) ∧ ((((ctx.z) = ((ctx.a + ctx.ib)) ∨ (ctx.z) = ((ctx.a - ctx.ib)))) ∧ ((0 < ctx.a) ∧ (ctx.a < 1))) ∧ (ctx.a = ((1 : ℝ) / (2 : ℝ)))) → ((∀ z : ℂ, (z ∈ ctx.Z_Rim_nt) → ((Complex.re z) = ((1 : ℝ) / (2 : ℝ))))) def DeductiveNode_P_VED_Completo (ctx : FormalContext) : Prop := ((((ctx.rho = 0)) → (ctx.mathcal_E_VED = ({x | ∃ k : ℕ, (k ∈ {x : ℕ | 0 < x}) ∧ (x = ((k, 0)))})))) → (((0 ≤ ctx.rho) ∧ (ctx.rho ≤ ((1 : ℝ) / (2 : ℝ))))) → ((ctx.U_VED_cerrado = (ctx.mathcal_E_VED ∪ ctx.mathcal_I_VED))) def DeductiveNode_P_VS (ctx : FormalContext) : Prop := (((0 ≤ ctx.rho) ∧ (ctx.rho ≤ ((1 : ℝ) / (2 : ℝ))))) → ((ctx.U_VED_cerrado = (ctx.mathcal_E_VED ∪ ctx.mathcal_I_VED))) → ((ctx.tilde_N = (ctx.R_VED * ctx.R_Sch)) ∧ (ctx.R_Sch = (ctx.tilde_N / ctx.R_VED)) ∧ (ctx.R_VED = (ctx.tilde_N / ctx.R_Sch)) ∧ ((ctx.Phi_tilde_N_fn_1 ctx.R_VED = ctx.tilde_N / ctx.R_VED)) ∧ (Nonempty (↥(ctx.U_VED) ≃ₜ ↥(ctx.U_Sch)))) → ((Nonempty (↥(ctx.U_VED) ≃ₜ ↥(ctx.U_Sch)))) def DeductiveNode_P_F (ctx : FormalContext) : Prop := ((ctx.tilde_N = (ctx.R_VED * ctx.R_Sch)) ∧ (ctx.R_Sch = (ctx.tilde_N / ctx.R_VED)) ∧ (ctx.R_VED = (ctx.tilde_N / ctx.R_Sch)) ∧ ((ctx.Phi_tilde_N_fn_1 ctx.R_VED = ctx.tilde_N / ctx.R_VED)) ∧ (Nonempty (↥(ctx.U_VED) ≃ₜ ↥(ctx.U_Sch)))) → ((Nonempty (↥(ctx.U_VED) ≃ₜ ↥(ctx.U_Sch)))) → ((ctx.ds ^ 2 = (ctx.dt ^ 2 - ctx.dt_prime ^ 2))) → ((ctx.dt_prime = (ctx.dt * (ctx.sqrt ((1 : ℝ) - (ctx.v ^ 2 / ctx.c ^ 2))))) ∧ (ctx.v = ctx.Derivative_t (ctx.DerivativeSubject_s)) ∧ (ctx.c = 1) ∧ (ctx.dt_prime ^ 2 = (ctx.dt ^ 2 - ctx.ds ^ 2))) → ((ctx.F = ((ctx.dt ^ 2 - ctx.dt_prime ^ 2) + (((2 : ℝ) * ctx.dt) * (1 : ℝ)) - (((2 : ℝ) * ctx.dt_prime) * ctx.Derivative_t (ctx.t_prime))))) def DeductiveNode_P_F1 (ctx : FormalContext) : Prop := ((Nonempty (↥(ctx.U_VED) ≃ₜ ↥(ctx.U_Sch)))) → ((ctx.ds ^ 2 = (ctx.dt ^ 2 - ctx.dt_prime ^ 2))) → ((ctx.F = ((ctx.dt ^ 2 - ctx.dt_prime ^ 2) + (((2 : ℝ) * ctx.dt) * (1 : ℝ)) - (((2 : ℝ) * ctx.dt_prime) * ctx.Derivative_t (ctx.t_prime))))) → ((ctx.dt_prime = (ctx.dt * (ctx.sqrt ((1 : ℝ) - (ctx.v ^ 2 / ctx.c ^ 2))))) ∧ (ctx.v = ctx.Derivative_t (ctx.DerivativeSubject_s)) ∧ (ctx.c = 1) ∧ (ctx.dt_prime ^ 2 = (ctx.dt ^ 2 - ctx.ds ^ 2))) → ((ctx.F = (((ctx.dt ^ 2 - ctx.dt_prime ^ 2) + ((2 : ℝ) * ctx.dt)) - (((2 : ℝ) * ctx.dt_prime) * ctx.Derivative_t (ctx.t_prime))))) def DeductiveNode_P_W (ctx : FormalContext) : Prop := ((ctx.ds ^ 2 = (ctx.dt ^ 2 - ctx.dt_prime ^ 2))) → ((ctx.F = ((ctx.dt ^ 2 - ctx.dt_prime ^ 2) + (((2 : ℝ) * ctx.dt) * (1 : ℝ)) - (((2 : ℝ) * ctx.dt_prime) * ctx.Derivative_t (ctx.t_prime))))) → ((ctx.F = (((ctx.dt ^ 2 - ctx.dt_prime ^ 2) + ((2 : ℝ) * ctx.dt)) - (((2 : ℝ) * ctx.dt_prime) * ctx.Derivative_t (ctx.t_prime))))) → ((ctx.dt_prime = (ctx.dt * (ctx.sqrt ((1 : ℝ) - (ctx.v ^ 2 / ctx.c ^ 2))))) ∧ (ctx.v = ctx.Derivative_t (ctx.DerivativeSubject_s)) ∧ (ctx.c = 1) ∧ (ctx.dt_prime ^ 2 = (ctx.dt ^ 2 - ctx.ds ^ 2))) → ((ctx.v_onda = ctx.c)) def DeductiveNode_P_F2 (ctx : FormalContext) : Prop := ((ctx.F = (((ctx.dt ^ 2 - ctx.dt_prime ^ 2) + ((2 : ℝ) * ctx.dt)) - (((2 : ℝ) * ctx.dt_prime) * ctx.Derivative_t (ctx.t_prime))))) → ((ctx.v_onda = ctx.c)) → ((ctx.F = (ctx.dt ^ 2 + ((2 : ℝ) * ctx.dt)))) def DeductiveNode_P_F3 (ctx : FormalContext) : Prop := ((ctx.v_onda = ctx.c)) → ((ctx.F = (ctx.dt ^ 2 + ((2 : ℝ) * ctx.dt)))) → ((ctx.F = (((2 : ℝ) * ctx.dt) * ((1 : ℝ) + (((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) * ctx.dt))))) def DeductiveNode_D_Lap (ctx : FormalContext) : Prop := ((ctx.F = (((2 : ℝ) * ctx.dt) * ((1 : ℝ) + (((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) * ctx.dt))))) → ((ctx.E = (ctx.hc / ctx.lambda)) ∧ (ctx.E = ctx.Mc ^ 2) ∧ (ctx.Mc ^ 2 = (ctx.hc / ctx.lambda)) ∧ (ctx.lambda = (ctx.h / ctx.Mc))) → ((ctx.rho = (ctx.dist_fn_2 ctx.n {x : ℕ | 0 < x})) ∧ ((0 ≤ ctx.rho) ∧ (ctx.rho ≤ ((1 : ℝ) / (2 : ℝ)))) ∧ ((((ctx.n) = (((ctx.k : ℝ) + ctx.rho)) ∨ (ctx.n) = (((ctx.k : ℝ) - ctx.rho)))) ∧ (ctx.k ∈ {x : ℕ | 0 < x}) ∧ ((0 ≤ ctx.rho) ∧ (ctx.rho ≤ ((1 : ℝ) / (2 : ℝ))))) ∧ (((ctx.L_fn_2 ctx.k ctx.rho) = ((((ctx.k : ℝ) + ctx.rho) * ctx.lambda)) ∨ (ctx.L_fn_2 ctx.k ctx.rho) = ((((ctx.k : ℝ) - ctx.rho) * ctx.lambda)))) ∧ (((ctx.R_VED_fn_2 ctx.k ctx.rho) = (((((ctx.k : ℝ) + ctx.rho) * ctx.lambda) / ((2 : ℝ) * Real.pi))) ∨ (ctx.R_VED_fn_2 ctx.k ctx.rho) = (((((ctx.k : ℝ) - ctx.rho) * ctx.lambda) / ((2 : ℝ) * Real.pi)))))) → ((((ctx.z) = ((ctx.a + ctx.ib)) ∨ (ctx.z) = ((ctx.a - ctx.ib)))) ∧ ((ctx.zeta ctx.s) = ctx.InfiniteSum_Nat_Complex (1) (fun n : ℕ => ((1 : ℂ) / ctx.Pow_Complex ((n : ℂ)) (ctx.s) : ℂ))) ∧ (ctx.s = 1) ∧ (ctx.Z_Rim_triv = ({x | ∃ m : ℕ, (m ∈ {x : ℕ | 0 < x}) ∧ (x = ((-2 * (m : ℤ))))})) ∧ (ctx.Z_Rim_nt = ({z | ((z ∈ (Set.univ : Set ℂ)) ∧ ((ctx.zeta z) = 0)) ∧ ((0 < (Complex.re z)) ∧ ((Complex.re z) < 1))})) ∧ ((((ctx.z) = ((ctx.a + ctx.ib)) ∨ (ctx.z) = ((ctx.a - ctx.ib)))) ∧ ((0 < ctx.a) ∧ (ctx.a < 1))) ∧ (ctx.a = ((1 : ℝ) / (2 : ℝ)))) → (((0 < ctx.a) ∧ (ctx.a < 1)) ∧ ((0 ≤ ctx.rho_R) ∧ (ctx.rho_R < ((1 : ℝ) / (2 : ℝ)))) ∧ (ctx.a = (((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) + (ctx.varepsilon * ctx.rho_R))) ∧ (((ctx.z_varepsilon_PM) = (((((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) + (ctx.varepsilon * ctx.rho_R)) + ctx.ib)) ∨ (ctx.z_varepsilon_PM) = (((((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) + (ctx.varepsilon * ctx.rho_R)) - ctx.ib)))) ∧ (ctx.rho_R = (abs ((Complex.re ctx.z) - ((1 : ℝ) / (2 : ℝ)))))) → ((((ctx.s_PM) = ((ctx.a + ctx.ib)) ∨ (ctx.s_PM) = ((ctx.a - ctx.ib)))) ∧ (ctx.a = ((1 : ℝ) / (2 : ℝ))) ∧ (((ctx.T_fn_2 ctx.k ctx.rho) = ((((ctx.k : ℝ) + ctx.rho) * ctx.lambda)) ∨ (ctx.T_fn_2 ctx.k ctx.rho) = ((((ctx.k : ℝ) - ctx.rho) * ctx.lambda)))) ∧ (((ctx.Pow_Real (ctx.e) (ctx.ibT)) = (1) ∨ (ctx.Pow_Real (ctx.e) (-ctx.ibT)) = (1))) ∧ (ctx.bT = ((2 : ℝ) * Real.pi)) ∧ (((ctx.b_fn_2 ctx.k ctx.rho) = ((((2 : ℝ) * Real.pi) / (((ctx.k : ℝ) + ctx.rho) * ctx.lambda))) ∨ (ctx.b_fn_2 ctx.k ctx.rho) = ((((2 : ℝ) * Real.pi) / (((ctx.k : ℝ) - ctx.rho) * ctx.lambda))))) ∧ (ctx.rho = 0) ∧ (ctx.b_k = (((2 : ℝ) * Real.pi) / ((ctx.k : ℝ) * ctx.lambda))) ∧ (ctx.Z_VED_to_Lap = ({x | ∃ k : ℕ, (k ∈ {x : ℕ | 0 < x}) ∧ (x = (((((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) : ℂ) + (ctx.i * ((((2 : ℝ) * Real.pi) / ((k : ℝ) * ctx.lambda)) : ℂ)))) ∨ x = (((((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) : ℂ) - (ctx.i * ((((2 : ℝ) * Real.pi) / ((k : ℝ) * ctx.lambda)) : ℂ)))))}))) def DeductiveNode_P_F3_2 (ctx : FormalContext) : Prop := ((ctx.F = (((2 : ℝ) * ctx.dt) * ((1 : ℝ) + (((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) * ctx.dt))))) → ((ctx.F = (((2 : ℝ) * ctx.dt) * ((1 : ℝ) + (((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) * ctx.dt))))) def DeductiveNode_P_Lap_Z (ctx : FormalContext) : Prop := ((ctx.F = (ctx.dt ^ 2 + ((2 : ℝ) * ctx.dt)))) → ((ctx.F = (((2 : ℝ) * ctx.dt) * ((1 : ℝ) + (((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) * ctx.dt))))) → ((((ctx.s_PM) = ((ctx.a + ctx.ib)) ∨ (ctx.s_PM) = ((ctx.a - ctx.ib)))) ∧ (ctx.a = ((1 : ℝ) / (2 : ℝ))) ∧ (((ctx.T_fn_2 ctx.k ctx.rho) = ((((ctx.k : ℝ) + ctx.rho) * ctx.lambda)) ∨ (ctx.T_fn_2 ctx.k ctx.rho) = ((((ctx.k : ℝ) - ctx.rho) * ctx.lambda)))) ∧ (((ctx.Pow_Real (ctx.e) (ctx.ibT)) = (1) ∨ (ctx.Pow_Real (ctx.e) (-ctx.ibT)) = (1))) ∧ (ctx.bT = ((2 : ℝ) * Real.pi)) ∧ (((ctx.b_fn_2 ctx.k ctx.rho) = ((((2 : ℝ) * Real.pi) / (((ctx.k : ℝ) + ctx.rho) * ctx.lambda))) ∨ (ctx.b_fn_2 ctx.k ctx.rho) = ((((2 : ℝ) * Real.pi) / (((ctx.k : ℝ) - ctx.rho) * ctx.lambda))))) ∧ (ctx.rho = 0) ∧ (ctx.b_k = (((2 : ℝ) * Real.pi) / ((ctx.k : ℝ) * ctx.lambda))) ∧ (ctx.Z_VED_to_Lap = ({x | ∃ k : ℕ, (k ∈ {x : ℕ | 0 < x}) ∧ (x = (((((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) : ℂ) + (ctx.i * ((((2 : ℝ) * Real.pi) / ((k : ℝ) * ctx.lambda)) : ℂ)))) ∨ x = (((((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) : ℂ) - (ctx.i * ((((2 : ℝ) * Real.pi) / ((k : ℝ) * ctx.lambda)) : ℂ)))))}))) → ((ctx.Z_VED_to_Lap ⊆ ({s | (Complex.re s) = ((1 : ℝ) / (2 : ℝ))}))) def DeductiveNode_P_Lap_Z_2 (ctx : FormalContext) : Prop := ((ctx.Z_VED_to_Lap ⊆ ({s | (Complex.re s) = ((1 : ℝ) / (2 : ℝ))}))) → ((((ctx.s_PM) = ((ctx.a + ctx.ib)) ∨ (ctx.s_PM) = ((ctx.a - ctx.ib)))) ∧ (ctx.a = ((1 : ℝ) / (2 : ℝ))) ∧ (((ctx.T_fn_2 ctx.k ctx.rho) = ((((ctx.k : ℝ) + ctx.rho) * ctx.lambda)) ∨ (ctx.T_fn_2 ctx.k ctx.rho) = ((((ctx.k : ℝ) - ctx.rho) * ctx.lambda)))) ∧ (((ctx.Pow_Real (ctx.e) (ctx.ibT)) = (1) ∨ (ctx.Pow_Real (ctx.e) (-ctx.ibT)) = (1))) ∧ (ctx.bT = ((2 : ℝ) * Real.pi)) ∧ (((ctx.b_fn_2 ctx.k ctx.rho) = ((((2 : ℝ) * Real.pi) / (((ctx.k : ℝ) + ctx.rho) * ctx.lambda))) ∨ (ctx.b_fn_2 ctx.k ctx.rho) = ((((2 : ℝ) * Real.pi) / (((ctx.k : ℝ) - ctx.rho) * ctx.lambda))))) ∧ (ctx.rho = 0) ∧ (ctx.b_k = (((2 : ℝ) * Real.pi) / ((ctx.k : ℝ) * ctx.lambda))) ∧ (ctx.Z_VED_to_Lap = ({x | ∃ k : ℕ, (k ∈ {x : ℕ | 0 < x}) ∧ (x = (((((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) : ℂ) + (ctx.i * ((((2 : ℝ) * Real.pi) / ((k : ℝ) * ctx.lambda)) : ℂ)))) ∨ x = (((((1 : ℝ) / (2 : ℝ)) : ℂ) - (ctx.i * ((((2 : ℝ) * Real.pi) / ((k : ℝ) * ctx.lambda)) : ℂ)))))}))) → ((ctx.Z_VED_to_Lap ⊆ ({s | (Complex.re s) = ((1 : ℝ) / (2 : ℝ))}))) end ES_46_RV6 -- DEMUESTRA_AUDIT_BEGIN -- DEMUESTRA_CONSTRUCTION_COMPLETE: TRUE -- DEMUESTRA_DEDUCTIVE_COVERAGE_COMPLETE: TRUE -- DEMUESTRA_PROOF_COMPLETE: FALSE -- DEMUESTRA_FORMALIZATION_STATUS: PARTIAL -- DEMUESTRA_JSON_NODE: T_RIEMANN -- DEMUESTRA_RESULT_UNVERIFIED: ES_46_RV6.derive_T_RIEMANN #check ES_46_RV6.derive_T_RIEMANN -- DEMUESTRA_AUDIT_END